УДК 517.977.5

Исследование динамических особенностей беспилотного аппарата

Смирнова Мария Александровна – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного университета.

Смирнов Михаил Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета.

Аннотация: Данная статья посвящена исследованию динамических особенностей беспилотного подводного аппарата. К таким особенностям относятся устойчивость, управляемость, наблюдаемость, робастность и чувствительность. Информация об этих особенностях необходима для разработки и создания систем автоматического управления движением беспилотными аппаратами, позволяющих выполнять различные задачи. К таким задачам относятся оценка состояния береговой зоны Финского залива, мониторинг береговых зон и участков дна акватории, проведение анализа состояния берегозащитных комплексов, накоплению информации для отслеживания указанных процессов в динамике, а также множество других задач. Для выполнения исследования динамических особенностей аппарата были созданы математическая и компьютерная модели системы автоматического управления движением, также было проведено компьютерное моделирование.

Ключевые слова: управление, моделирование, беспилотный, объект управления, морской.

В связи с высоким распространением и важностью различного рода беспилотных аппаратов необходимо подходить к задаче формирования автоматического управления комплексно – требуется совершенствовать не только сами беспилотные аппараты на уровне производства, но и методы управления ими в различных условиях внешней среды. В настоящее время известны различные виды законов управления [1-12], однако их успешное применение зависит в том числе от качества математической модели. Поэтому необходимо тщательно исследовать и учитывать динамические особенности объектов управления.

Рассмотрим беспилотный подводный аппарат, внешний вид которого представлен на рис. 1. Он способен развивать скорость до 3,5 узлов и питается от шести 12 вольтовых перезаряжаемых свинцово-кислотных батарей. Время работы около 4 часов на максимальной скорости, 20 часов – на минимальной. Данный аппарат рассчитан на глубину до 30 метров.

Рисунок 1. Беспилотный подводный аппарат.

В качестве базовой математической модели беспилотного подводного аппарата, как и для других типов морских подвижных объектов, принимается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 12-го порядка, которая описывает движение объекта, как управляемого твердого тела, частично погруженного в жидкость. К основным динамическим особенностям любого объекта управления относятся устойчивость, управляемость, наблюдаемость, робастность и чувствительность.

В общем случае система нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующая динамику беспилотного аппарата в российских стандартах, имеет следующий вид:

Линейные уравнения движения в горизонтальной плоскости имеют вид

Рассмотрим фиксированную скорость хода, для которой значения постоянных коэффициентов математической модели будут иметь следующие значения: , , , , .

Закон управления для указанной системы имеет следующий вид:

Определим устойчивость замкнутой системы. Записав матрицу замкнутой системы, вычисляем ее собственные значения:

т.е. замкнутая система устойчива по курсу.

Уравнения стабилизации по крену плоскости имеют вид

Значения постоянных коэффициентов линейной системы:

, , .

Закон управления имеет следующий вид:

Таким образом, записав матрицу замкнутой системы, вычисляем ее собственные значения:

т.е. замкнутая система устойчива по крену.

Линейные уравнения движения беспилотного подводного аппарата в вертикальной плоскости имеют вид

Приняты следующие значения постоянных коэффициентов:

, , , , ,

,,,, .

Позиционные регуляторы для кормовых и носовых рулей соответственно имеют следующий вид:

Таким образом, записав матрицу замкнутой системы, вычисляем ее собственные значения:

т.е. замкнутая система устойчива в вертикальной плоскости.

Теперь рассмотрим управляемость. Матрица управляемости для системы, описывающей уравнения движения аппарата в горизонтальной плоскости, имеет вид:

Ее ранг равен 3, т.е. система полностью управляема.

Матрица управляемости для системы, описывающей уравнения стабилизации аппарата по крену, имеет вид:

Ее ранг равен 2, т.е. система полностью управляема.

Матрица управляемости для системы, описывающей уравнения движения БПА в вертикальной плоскости, имеет вид:

Ее ранг равен 4, т.е. система полностью управляема.

Аналогичным образом рассмотрим наблюдаемость замкнутой системы.

Матрица наблюдаемости для системы, описывающей уравнения движения рассматриваемого аппарата в горизонтальной плоскости, имеет вид:

Ее ранг равен 3, т.е. система полностью наблюдаема.

Матрица наблюдаемости для системы, описывающей уравнения стабилизации аппарата по крену, имеет вид:

Ее ранг равен 2, т.е. система полностью наблюдаема.

Матрица наблюдаемости для системы, описывающей уравнения движения рассматриваемого аппарата в вертикальной плоскости, имеет вид:

Ее ранг равен 4, т.е. система полностью наблюдаема.

Для рассмотрения свойства робастности нам потребуемся составить интервальный полином и исследовать его.

Рассмотрим замкнутую систему движения беспилотным аппаратом в горизонтальной плоскости. Найдем ее характеристический полином:

Составим интервальный полином с коэффициентами, изменяющимися в пределах 10% от номинала, т.е. где

Запишем четыре вспомогательных полинома Харитонова:

Найдем их корни:

Все они лежат в открытой левой полуплоскости, следовательно, система робастно устойчива.

Теперь рассмотрим замкнутую систему стабилизации по крену. Найдем ее характеристический полином:

Составим интервальный полином с коэффициентами, изменяющимися в пределах 10% от номинала, т.е. где

Запишем четыре вспомогательных полинома Харитонова:

Найдем их корни:

Все они лежат в открытой левой полуплоскости, следовательно, система робастно устойчива.

Рассмотрим замкнутую систему движения в вертикальной плоскости. Найдем ее характеристический полином:

Составим интервальный полином с коэффициентами, изменяющимися в пределах 10% от номинала, т.е. где

Запишем четыре вспомогательных полинома Харитонова:

Найдем их корни:

Все они лежат в открытой левой полуплоскости, следовательно, система робастно устойчива.

Для исследования чувствительности математической модели к изменению параметров было проведено моделирование линейной математической модели при фиксированном скоростном законе управления со случайно изменяющимися в пределах 30% от номинала коэффициентами линейной модели. Результаты моделирования движения в горизонтальной плоскости представлены на рис. 2.

Рисунок 2. Изменение курса .

На рис. 2 представлено изменение курса беспилотного аппарата в процессе выхода на заданный курсовой угол для пятидесяти случайных вариаций исходной математической модели. Как видно из графика, при изменении коэффициентов в указанных пределах динамика системы практически не меняется. При изменении значений коэффициентов в пределах 40% от номинала в процессе тестового моделирования критического изменения динамики также не обнаружено.

Рисунок 3. Изменение курса .

Для исследования чувствительности математической модели движения беспилотного аппарата в вертикальной плоскости к изменению параметров было проведено моделирование линейной математической модели при фиксированном скоростном законе управления со случайно изменяющимися в пределах 30% от номинала коэффициентами линейной модели. Результаты моделирования движения представлены на рис. 4 и 5.

Рисунок 4. Изменение угла дифферента.

Рисунок 5. Изменение глубины.

На данных графиках представлены изменение дифферента и глубины аппарата в процессе выхода на заданную глубину для пятидесяти случайных вариаций исходной математической модели. Как видно из графика, при изменении значений коэффициентов в пределах 30% от номинала в процессе тестового моделирования критического изменения динамики не обнаружено.

Таким образом, в статье исследованы динамические особенности конкретного беспилотного подводного аппарата. В результате изучения выявлено, что система управления беспилотным подводным аппаратом с рассматриваемой математической моделью устойчива, полностью управляема, полностью наблюдаема. Кроме того, данная система робастно устойчива и не чувствительна к изменению параметров математической модели, что позволяет вносить различные изменения в конструкцию беспилотного подводного аппарата, не изменяя при этом математическую модель. Это означает, что можно навешивать дополнительное оборудование, а также, к примеру, изменять материал корпуса для увеличения максимальной глубины погружения, мощность двигателей для увеличения максимальной скорости хода, увеличивать количество батарей на борту для более длительной работы, и это практически не скажется на динамике подводного аппарата. Компьютерное моделирование проведено в системе MATLAB-Simulink.

Список литературы

Veremei E.I., Korchanov V.M. Multiobjective stabilization of a certain class of dynamic systems // Automation and Remote Control, №49, 1989. pp. 1210 – 1219.
Веремей Е.И. Линейные системы с обратной связью. – СПб.: Изд–во «Лань», 2013 – 448 с.
Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. – № 9. – С. 126–137.
Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. – № 4. –С. 3–14.
Smirnov N.V., Smirnova M.A., Smirnov A.N., Smirnov M.N. Combined control synthesis algorithm. 2017 Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (Dedicated to the Memory of V.F. Demyanov), CNSA 2017 - Proceedings. –2017 – pp. 194-196.
Smirnova M.A., Smirnov M.N., Smirnova T.E., Smirnov N.V. Multi-purpose control laws in motion control systems // Information (Japan). –2017. –20(4). –pp. 2265-2272.2017.
Smirnov N.V., Smirnova M.A., Smirnova T.E., Smirnov M.N. The Problem of Synthesis the Control Laws with Uncertainties in External Disturbances. // Lecture Notes in Engineering and Computer Science, –2017.– pp. 276-279.
Smirnov N.V., Smirnova M.A., Smirnova T.E., Smirnov M.N. The Issues of Multipurpose Control Laws Construction. // Lecture Notes in Engineering and Computer Science. –2017. –pp. 194-196.
Smirnova M.A., Smirnov M.N. Multipurpose control laws in trajectory tracking problem.// International Journal of Applied Engineering Research. –2017–11(22), – pp.11104-11109.
Vitrant E., Canudas–De–Vit C., Georges D., Alamir M. Remote stabilization via time–varying communication network delays // IEEE Conference in Control Applications, Taiwan, –2004.
Smirnov M.N., Smirnova M.A. Control synthesis for marine vessels in case of limited disturbances // Telkomnika (Telecommunication Computing Electronics and Control), – 2018, –16(2), –pp. 648–653.
Smirnov M.N., Smirnova M.A. Questions of stabilization and control of unmanned aerial vehicles // Comptes Rendus de L'Academie Bulgare des Sciences, –2018, –71(1), –pp. 87–91.

Интересная статья? Поделись ей с другими: