УДК 514

Обучение учащихся 10-11 классов использованию свойств векторов в решении задач ЕГЭ по математике

Рязанцев Максим Игоревич – студент физико-математического факультета Мордовского государственного педагогического университета имени М.Е. Евсевьева.

Аннотация: Математика является одним из основных предметов в школе. ЕГЭ по математике является главным этапом в учебном процессе учащихся 10-11 классов. Одной из значимых тем курса математики, является изучение свойств векторов и применение их при решении задач. В статье предлагается учащимся 10-11 классов рассмотреть методику обучения решения задач на использование свойств векторов. Также методы и подходы, которые могут облегчить их решение.

Ключевые слова: ЕГЭ, выпускники, математика, векторы, свойства, задачи, обучение, методы, применение, компьютерные программы, тестирование, самоконтроль, знания, готовность, пространственное мышление, рекомендации, учитель, подход.

Единый Государственный Экзамен является обязательным для сдачи выпускниками школ Российской Федерации и единственной формой аттестации выпускников. Для подготовки к прохождению экзамена, выпускникам нужно изучить большой объем учебных материалов, а что еще сложнее, освоить его.

Математика является одним из основных предметов в школе. ЕГЭ по математике является главным этапом в учебном процессе учащихся 10-11 классов. Для успешного выполнения заданий по ЕГЭ, выпускникам необходимо уметь применять различные математические формулы и свойства, куда и входит работа с векторами. В данной статье рассмотрим способ обучения учащихся использованию свойств векторов для решения задач ЕГЭ по математике. Одной из значимых тем курса математики, является изучение свойств векторов и применение их при решении задач. В статье предлагается учащимся 10-11 классов рассмотреть методику обучения решения задач на использование свойств векторов. Также методы и подходы, которые могут облегчить их решение.

Самым первым и базовым методом в обучении учащихся использованию векторов является изучение основных свойств и определений. Векторы – это отрезки прямой, имеющие направление, то есть отрезки, для которых указано, какие из их граничных точек являются началом или концом.

В предыдущих годах, векторы применялись в ЕГЭ только во второй части, но задания посвященного именно теме “Векторы” не было. Также многие учащиеся использовали векторы при решении стереометрических и планиметрических задач.

Учитывая то, что варианты ЕГЭ постоянно меняются и дорабатываются, сейчас в первой части появилось задание на тему “Векторы”. На задание нужно дать краткий ответ, и оно не является сложным, если обучающийся имеет базовые знания по векторам.

Перейти к более сложным свойствам векторов, которые позволяют решать задачи ЕГЭ можно после того, как учащиеся освоят данные определения и операции.

К сложным свойствам векторов, которые предназначены для решения ЕГЭ, обучающиеся могут перейти тогда, когда изучат и освоят определения и операции представленные ниже.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся свойства векторов:

  1. Коммутативность: если A и B – два вектора, то A + B = B + A. Это свойство позволяет менять порядок слагаемых при сложении векторов.
  2. Ассоциативность: для любых трех векторов A, B и C справедливо равенство (A + B) + C = A + (B + C). Это свойство позволяет менять расстановку скобок при сложении векторов.
  3. Дистрибутивность для любых векторов A и B и числа k справедливо равенство k(A + B) = kA + kB.
  4. Свойство равенства трех векторов: если A + B = C, то A = C - B. Это свойство позволяет находить значение одного из векторов, если известны значения двух других.
  5. Положительная определенность: для любого вектора A выполнено условие A + A = 2A > 0. Это свойство позволяет определять направление вектора.
  6. Координаты разности вектора: если координаты векторов a и b соответственно равны (a1;a2) и (b1;b2), то координаты вектора a-b равны ( a1-b1; a2-b2).
  7. Умножение вектора на число: произведением ненулевого вектора a на число k, отличного от нуля, называют такой вектор b, что:
  8. |b| =|k| * |a| то есть длина нового вектора будет в |k| раз больше;
  9. Если k>0, то b ↑↑ a (сонаправленны);
  10. Если k<0, то b ↑↓ a ( противоположно направленны);
  11. Координаты умноженного вектора: Если вектор a имеет координаты (a1; a2), то вектор ka имеет координаты (ka1;ka2).
  12. Скалярное произведение векторов: a(a1;a2) и b(b1;b2) можно вычислить по формуле a * b = a1b1 + a2b2

Решение задач ЕГЭ, связанных с применением свойств векторов, требует понимания этих свойств и умения их применять на практике. Важно научить учащихся преобразовывать задачу ЕГЭ в виде геометрической задачи на векторы. Для этого следует разбить задачу на отдельные пункты, определить известные и неизвестные значения и, используя свойства векторов, найти ответ.

Методы обучения учащихся использованию свойств векторов разделяются на несколько видов.

Изучение конкретных примеров: рассмотрение конкретных задач и примеров, в которых показано использование свойств векторов поможет обучающимся понять, как лучше применять эти знания на практике.

Решение практических задач: метод требует использовать векторы и их свойства напрямую для нахождения ответа. Метод формирует у обучающихся навык применения знаний на практике.

Проведение интерактивных занятий: на интерактивных занятиях обучающиеся могут обсуждать решение задач, делиться опытом, задавать вопросы друг-другу и учителю по непонятным им моментам, что способствует развитию навыков самостоятельного решения задач.

Использование компьютерных программ или технологий: программы Geogebra и Mathematica, используются для визуализации векторов, что способствует упрощению обучения, понятию содержания и пространственному мышлению обучающихся.

Что же касается способов подготовки обучающихся к Единому Государственному Экзамену, следует выделить 3 основных способа:

Способ теоретической подготовки: обучающимся нужно хорошо овладеть основными понятиями и свойствами векторов, такие понятия как сумма векторов, скалярное произведение и векторное произведение, умножение вектора на число будут являться основными.

Способ практической подготовки и решения практических задач: учащимся стоит решать большое количество практических задач на применение свойств векторов, что в дальнейшем поможет закреплению теоретического способа и позволит развить навыки, для решения задач повышенного уровня.

Способ тестирования и самоконтроля: тестирование и самопроверка поспособствуют обучающимся определить слабые стороны и места в их знаниях, что поспособствует дальнейшему сбалансированию знаний.

Интерес учащихся к изучению свойств векторов и их использования для решения задач ЕГЭ, приводит их к следующим результатам:

Обучающиеся получат много нужных знаний по данной теме и научатся применять их в решении задач.

Ученики преумножают свой объем знаний по математике и повышают уровень знаний, для сдачи ЕГЭ.

Использование компьютерных программ приводит к расширению пространственного мышления и новым способам решения геометрических задач.

Используя приведённые выше рекомендации, начинающий учитель математики может более эффективно преподнести материал обучающимся. Обучающиеся же со своей стороны смогут более правильно подойти к изучению свойств векторов и подготовке к ЕГЭ.

В целом, правильный подход и использование правильных методик обучения при изучении свойств векторов способствуют более качественному, быстрому и рациональному способу изучения свойств векторов, что позволяет облегчить процесс обучения учащихся.

Список литературы

  1. Абрамчук А.А. Методика обучения векторной алгебре в школе в соответствии с принципом наглядности. - Донецк: Донецкий национальный университет, 2018. - 230 с.
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра. 8 класс. - Москва: Просвещение, 2013. - 291 с.
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Алгебра / 8 класс. - Москва: Просвещение, 2013. - 340 с.
  4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия / 10-11 класс. - 22-е изд. - Москва: Просвещение, 2013. - 259 с.
  5. Гредасова Н.В., Корешникова М.А., Желонкина Н.И. [и др.] ; Мин-во науки и высш. образования РФ.— Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019.— 88 с.
  6. Веретенников В. Н. Элементы векторной алгебры. Учебное пособие. – Спб: РГГМУ, 2018 – 72 c.