Оценка справедливости гипотезы Коллатца (исправленная)

Савинов Сергей Николаевич – младший научный сотрудник ООО «Лаборатория метеотехнологий».

Аннотация: В исправленном препринте рассмотренная гипотеза Коллатца, условия гипотезы преобразованы в прогрессию, для которой приводится анализ на сходимость образующейся последовательности.

Ключевые слова: гипотеза Коллатца, последовательность.

1. Формулировка гипотезы Коллатца известна.

Условия гипотезы могут быть сведены к прогрессии (1), образующей последовательность нечетных чисел , .

 (1)

 ,  - целые нечетные числа, предыдущий и последующее значение последовательности,  - целое число (image006)

2. Возможно охарактеризовать сходимость последовательности прогрессии (1) числом α по выражению (2).

(2)

Характеристика α = 2 при и асимптотически стремится к 1,5 при

, таким образом, последовательность (1) при α > 1 образует расходящийся ряд (при ).

Если ), прогрессия (1) сходится α < 1.

3.  ~ h – пропорциональность приводит к возможности непрерывного биективного отображения множеств .

Множества  равномерны по натуральному ряду, также между этими множествами нет корреляции по определению (не кратные), поэтому статистическое распределение дискретных отображений  соответствует статистическому распределению рядов  по m.

4. Среднее геометрическое произведений делителей вида (2x, 4x, 8x, 16x и тд., или начало ряда 2,4,2,8,2…) в натуральном ряду (множество )  от начала ряда до количества равного количеству циклов определяется выражением (3).

Это минимальная величина усредненного делителя.

(3)

с – число циклов последовательности прогрессии (1) (в ряду результатов – количество нечетных чисел).

Величина с в выражении (3) является максимальной. Минимальная величина c = 0 (соответственно максимум α) имеет место для начальных чисел .

Например, для

5. При соответствии характеристики условиям (5.1) (5.2) прогрессия (1) является сходящейся.

(5.1)

 (5.2)

Таким образом, каким бы ни было начальное число x, найдется предельное количество циклов c нечетных чисел (5.2) после которого характеристика будет соответствовать неравенству и прогрессия (1) образует сходящийся ряд в соответствии с гипотезой Коллатца.

В соответствии с прогрессией (1) на каждое смещение (3x+1) приходится смещение и поскольку (n, m - целые числа, n > 1, m > 0), то α ≠ 1 и в последовательности прогрессии отсутствуют повторяющиеся числа (кроме 1).

Отсутствие повторяющихся чисел в последовательности прогрессии (1) возможно только при справедливости выражения (4).

 (4)

Из выражений (4.1, 4.2) следует (4.3), равенство в котором невозможно, следовательно, выражение (4) является верным.

 (4.1)

 (4.2)

  (4.3)

Список литературы

  1. В.Н. Калинина. Теория вероятностей и математическая статистика/ М. – Юрайт – 2013.
  2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ. Изд. 2-е./М. – Изд. Моск. Унив. – 1985.

Интересная статья? Поделись ей с другими:

Внимание, откроется в новом окне. PDFПечатьE-mail