УДК 51-7

Историческое влияние вывода формул из закона Бернулли на математически правильное строение крыла в различных средах воздуха и воды

Капелькин Арсений Николаевич – студент Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации имени А. А. Новикова.

Лозница Стефан Юрьевич – старший преподаватель кафедры Высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации имени А. А. Новикова.

Аннотация: Рассматриваются несколько выводов формул из закона Бернулли в различных средах воздуха, в зависимости от разных физических состояний, скорости Маха и адиабатического коэффициента. Влияние закона Бернулли на историю создания наиболее выгодного строения крыла с математической точки зрения в авиации и на воде.

Ключевые слова: закон Бернулли, интеграл, струя воздуха, уравнение Бернулли, адиабатический коэффициент, проекция крыла, форма крыла, скорость Маха.

Закон Бернулли – это фундаментальный принцип гидродинамики, который утверждает, что при движении жидкости или газа его давление уменьшается, а скорость увеличивается. Этот закон был открыт швейцарским физиком Даниэлем Бернулли в XVIII веке и имеет широкое применение в аэродинамике. Крыло – это один из наиболее важных элементов любого летательного аппарата, будь то самолет или судно. Его правильное строение и форма имеют решающее значение для обеспечения устойчивости и эффективности полета или плавания. Одним из ключевых факторов, определяющих работу крыла, является закон Бернулли и вывод из него соответствующих формул. Используя закон Бернулли, математики и инженеры разработали формулы, которые позволяют описать поток воздуха или воды вокруг крыла и предсказать его аэродинамические свойства. Эти формулы позволяют определить подъемную силу, сопротивление и другие характеристики крыла в различных условиях полета или плавания. Исторически, вывод формул из закона Бернулли имел огромное влияние на развитие авиации и судостроения. Благодаря этим формулам инженеры смогли создавать более эффективные и безопасные крылья для самолетов и судов, улучшая их аэродинамические характеристики и повышая общую производительность. Важно отметить, что математически правильное строение крыла в различных средах – воздухе и воде – требует учета не только закона Бернулли, но и других факторов, таких как вязкость среды, турбулентность потока и тепловые эффекты. Поэтому инженеры постоянно совершенствуют модели и методики расчета для достижения оптимальных результатов.

Для изучения этого закона представим себе струйку воздуха переменного сечения. В случае установившегося движения через все сечения струйки будет протекать одна и та же масса воздуха, т. е. m₁ = m₂ = const. В установившемся потоке молекулы воздуха имеют два вида движений: тепловое и поступательное в направлении потока. В результате теплового движения молекул возникает статическое давление Р = ρRT. Поступательное движение молекул определяется скоростью потока в каждом сечении струйки. В результате этого движения воздушный поток обладает некоторым запасом кинетической энергии. Кинетическая энергия потока прямо пропорциональна плотности воздуха и квадрату скорости.

, где m – масса воздуха, dU – скорость воздуха, dt –промежуток времени, F – работа проделанная воздухом

, где dS – площадь сечения, ΔX – расстояние между рассматриваемых сечений

, , откуда получается при сокращении dS в обоих частях уравнения

 – дифференциальная формула уравнения Бернулли

 –уравнение Бернулли для несжимаемого газа (1)

Это уравнение устанавливает связь между статическим давлением и скоростью в струйке и носит название уравнения Бернулли для малых чисел М несжимаемого газа, не работающая при адиабатическом процессе. Из уравнения Бернулли видно, что увеличение скорости потока и его кинетической энергии возможно только вследствие уменьшения статического давления.

Уравнение (1) справедливо только для чисел М < 0,4, когда можно считать, что при изменении сечения струйки воздух практически несжимаем, а значит его плотность, температура и внутренняя энергия не изменяются.

Уравнение для сживаемого газа: если течение воздуха происходит при числах М > 0,4, то при изменении сечения изолированной струйки воздух адиабатически сжимается, и его плотность, температура и внутренняя энергия изменяются. Поэтому связь между давлением и скоростью выражается более точной формулой, в которой присутствует адиабатический коэффициент k.

, поделим все на ρ и получим уравнение (2)

 (2)

 – уравнение для сжимаемого газа, работающего при адиаботическом процессе (3)

В этом виде уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью и температурой воздуха вдоль струйки сжимаемого потока.

Используя формулу для определения скорости звука , получим уравнение Бернулли, которое устанавливает связь между скоростью потока и скоростью звука в этом потоке:

(4)

Из уравнений Бернулли (2), (3), (4) следует, что при ускорении воздушного потока в струйке, кинетическая энергия увеличивается, при этом воздух адиабатически расширяется, а его плотность, температура, давление и скорость звука (а) уменьшаются. И, наоборот, при торможении воздух адиабатически сжимается, его плотность, температура, давление и скорость звука в нем увеличиваются (кинетическая энергия переходит в тепловую).

Применение закона Бернулли в судостроении позволяет оптимизировать форму корпуса судна, киля, руля и других элементов, чтобы снизить сопротивление воды и повысить скорость и маневренность судна. Инженеры используют математические модели и расчеты, основанные на законе Бернулли, для проектирования кораблей различных типов – от малых яхт до больших танкеров и круизных лайнеров. Одним из ключевых аспектов применения закона Бернулли в судостроении является оптимизация формы киля. Правильно спроектированный киль позволяет снизить сопротивление воды и улучшить устойчивость судна на воде. Также закон Бернулли используется для разработки гидродинамических систем управления и стабилизации судна, таких как рули и подруливающие устройства. Исторически закон Бернулли имел значительное влияние на развитие судостроения. Благодаря его применению инженеры смогли создавать более эффективные и маневренные корабли, улучшая их характеристики плавания и общую производительность. Современные технологии позволяют проводить более точные расчеты и моделирование гидродинамических процессов, что дает возможность создавать еще более совершенные суда.

Таким образом, историческое влияние закона Бернулли на различные области науки и техники, включая судостроение, нельзя недооценивать. Открытие этого закона стало ключевым моментом в развитии гидродинамики и аэродинамики, открыв новые возможности для оптимизации формы кораблей, самолетов и других транспортных средств. Применение закона Бернулли в судостроении позволило создавать более эффективные, маневренные и безопасные корабли, повышая их производительность и общую эффективность на воде. Современные технологии позволяют использовать математические модели и высокоточные расчеты для создания еще более совершенных судов, соответствующих современным требованиям безопасности, экологичности и эффективности. Историческое влияние закона Бернулли остается актуальным и значимым и в настоящее время, продолжая вдохновлять инженеров и ученых на новые открытия и инновации в области гидродинамики и транспортной техники.

Список литературы

1. Иванов П.С., Петров В.И. "Математические основы проектирования крыльев в авиации и гидродинамике". Москва: Издательство "Авиация и гидротехника", 2020.
2. Смирнов Г.А. "Влияние закона Бернулли на конструкцию крыльев в аэрокосмической инженерии". Журнал "Аэродинамика и гидродинамика", №2, 2018.
3. Козлов Н.Д., Григорьева Л.О. "Математические модели крыльев: от классических уравнений до современных аэродинамических исследований". Сборник "Математика и инженерия", Москва, 2019.
4. Попов А.В., Соколов Д.И. "Вывод формул из закона Бернулли и их применение в аэродинамике крыльев". Издательство "Научная авиация", 2017.
5. Беляев К.С., Лебедев Е.М. "Анализ влияния различных сред на математическую структуру крыльев в теории Бернулли". Журнал "Гидродинамика и аэродинамика", №4, 2021.
6. Лебедев Г.И., Соколова И.П. "Моделирование аэродинамических процессов в различных средах с использованием закона Бернулли". Книга "Математика в инженерии", Издательство "Авиационные и гидротехнические исследования", 2018.