УДК 53
Учет показателя преломления при восстановлении "томограммы" в ограниченном угле обзора
Климин Андрей Олегович – аспирант кафедры Электродинамики Радиофизического факультета Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
Аннотация: В процессе роста водорастворимых кристаллов возможно возникновение дефектов кристаллической структуры. Для определения положения неоднородности внутри оптического элемента был использован метод восстановления компьютерных томограмм с использованием преобразования Радона, предварительно модернизированный для учета изменения показателя преломления на границе исследуемого элемента. Приведено сравнение результата восстановления при использовании стандартного метода и с учетом скачка показателя преломления, показана корректность модернизации.
Ключевые слова: Нелинейно-оптические элементы, Томография, восстановление томограмм, дефекты кристаллической структуры.
В процессе роста водорастворимых кристаллов возможно возникновение дефектов кристаллической структуры. Пример такого дефекта представлен на рис.1. Наличие подобных неоднородностей приводит к искажению волнового фронта, проходящего сквозь них излучения. Исследование кристалла на наличие дефектов необходимо для повышения качества готовых оптических элементов, отбраковки заготовок, совершенствования процесса роста.
|
Рис.1 |
Теневой метод, применяющийся при исследовании кристаллов, обладает высокой чувствительностью к искажению волнового фронта. Использование данного метода позволяет определить наличие дефекта, но не дает информацию о местоположении неоднородности внутри кристалла и ее структуре. В настоящей работе рассматривается вопрос о применимости одного из методов томографического восстановления для получения данной информации. Различные томографические методы широко применяются для анализа данных полученных с использованием интерферометрических установок, проекционных данных и т.д.[1].
Задача восстановления изображения в компьютерной томографии сводиться к задаче нахождения исходной функции по известным интегралам от этой функции вдоль прямых, которые проходят сквозь нее под разными углами от 0 до 180 градусов. Результатом рассмотрения Иоганном Радона в 1917 этой задачи стали понятия прямого и обратного преобразования Радона. Геометрический смысл прямого преобразования Радона изображен на рис.2. и представляет собой интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной оси x’, образованной поворотом оси x на угол θ и проходящей на расстоянии x’ от начала координат. Дискретизация преобразования Радона приводит кто тому, что искомая функция f(x,y) заменяется двумерным массивом данных (изображением) I(i,j), а интегрирование вдоль прямой сводится к сложению элементов массива с определенными порядковыми номерами. Результатом применения прямого преобразования Радона является набор проекций в угле от 0 до 180 градусов.
Существует множество методов нахождения исходного изображения по известным интегралам, отличающихся сложностью вычислений и требованием к числу проекций. В настоящей работе используется метод фильтрованной обратной проекции. Геометрический смысл метода представлен на рис.3 и представляет собой обратное проецирование данных полученных при заданном угле, предварительно отфильтрованных с помощью фильтра вида |w| (фильтр Рама-Лака). Важно отметить, что данный метод применим к проекциям, имеющим не интегральный характер, таким как тень от объекта.
|
|
Рис.2 |
Рис.3 |
При рассмотрении задачи о нахождении исходного изображения делается предположение о том, что интегралы берутся вдоль прямой, что соответствует распространению излучения вдоль прямой линий. Для длины волны излучения находящейся в рентгеновском диапазоне предположение зачастую оправданно. Так же предположение может соблюдаться и в оптическом диапазоне для объектов определенной конфигурации с дополнительными ограничениями [2]. Для объектов с плоскопараллельными гранями излучение в оптическом диапазоне испытывает преломление на границе (см. рис. 4), приводящее к изменению угла распространения и смещению луча на величину , где
углы падения и преломления, h – ширина объекта. При известных параметрах, таких как длина l, ширина h и показатель преломления n, возможно учесть влияние преломления путем изменения угла распространения в методе обратной проекции и учета смещения координаты луча.
|
Рис.4 |
Исследуемый объект показан на рис. 5 и 6 и представляет собой стекло марки K8 шириной h=20мм, длиной l=80мм и показателем преломления n=1.5 . На каждую сторону объекта были нанесены серии точек, а так же на одну из сторон была нанесена буква «Ш». Измерения проводились с использованием теневой установки ИАБ-451[3] в угловом диапазоне α=-55:1:60. Реконструкция осуществлялась методом обратной проекции с модификацией, позволяющей учесть изменения угла распространения и смещение проходящих лучей, а также непрозрачные грани объекта, ограничивающие угловой диапазон. Для оценки действия алгоритма было проведено восстановление без учета показателя преломления.
|
|
Рис.5 |
Рис.6 |
На рис. 7 и 9 приведены результаты реконструкции томограмм для двух различных плоскостей исследуемого объекта без учета показателя преломления. На рис. 8 и 10 приведены результаты реконструкции томограмм с учетом показателя преломления.
Рис.7 |
Рис.8 |
Рис.9. |
Рис. 10. |
На рис. 11-13 приведены различные виды на 3D модель, собранную из всех послойных томограмм с учетом показателя преломления.
|
|
Рис. 11 |
Рис. 12 |
|
|
Рис.13 |
По результатам восстановления была оценена толщина объекта. Оценка по томограмме изображенной на рис. 8 составляет h≈19,98 мм. Толщина объекта, оцененная по томограмме изображенной на рис. 10, составляет h≈19,67 мм. Расстояние между гранями, без учета показателя преломления, приблизительно можно оценить по томограммам изображенным на рис. 7 и рис. 9 как h≈12,73 мм. На рис. 7-10 присутствуют артефакты, связанные с ограниченным угловым диапазоном. Форма артефактов отличатся с учетом и без учета показателя преломления, так для томографии с учетом показателя преломления характерна симметричность артефактов. Несмотря на кажущуюся априорность информации о толщине объекта, результаты оценки позволяют предполагать, что использование метода обратной проекции с учетом показателя преломления позволит уточнить расположение неоднородностей внутри объекта. Отметим также, что мы пренебрегли искажением волнового фронта вне исследуемого образца, считая, что воздух не вносит вклад в наблюдаемую теневую картину. Форма дефекта может быть определена с точностью до артефактов восстановления, зависящих от углового диапазона измерений. В дальнейшем планируется использовать итерационные методы восстановления томограмм, позволяющие уменьшить характерный размер артефактов.
Список литературы
- Yongjin S., Wonshik C., Christopher F.// Optics Express. 2009. Vol. 17, № 1. P. 266.
- Gang Y., Mark A.H. // Applied Optics. 2005. Vol. 44, № 20. P. 4265.
- Васильев Л.А. Теневые методы. – Москва. Наука, 1968, c. 400.