УДК 621.375.132.9

Исследование математических функций при помощи схем на основе операционных усилителей

Лукьянова Яна Александровна – студент МИРЭА – Российского технологического университета

Усов Дмитрий Алексеевич – студент МИРЭА – Российского технологического университета

Аннотация: Данная статья представляет собой исследование применения операционных усилителей в построении (конструировании) схем для анализа математических функций. В ней рассматривается теоретический вопрос работы операционных усилителей и создании на их базе следующих устройств, выполняющих математические операции: логарифматор, антилогарифматор, интегратор и дифференциатор. Также в статье приведены практические примеры построения схем на основе операционных усилителей для анализа различных математических функций, их характеристик и свойств. Это позволит читателю получить целостное представление о возможностях и применении схем на основе операционных усилителей в исследовании математических функций.

Ключевые слова: операционные усилители, интегратор, логарифматор, дифференциатор, антилогарифматор, математические функции.

Введение

Современные компьютеры способны выполнять точные математические операции с числами. Однако на практике часто приходится работать со значениями, выраженными в виде напряжения или тока. В этих случаях для использования необходимо задействовать аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Однако такие системы часто бывают сложными и дорогостоящими, и не всегда экономически обоснованными.

Аналоговые схемы на базе операционных усилителей (ОУ) позволяют легко и эффективно создавать различные арифметические схемы. Недостатком этого метода расчета является относительно низкая точность, обычно не более 0,1%, но в большинстве случаев этой точности достаточно.

Основная часть

Операционный усилитель (ОУ) – это устройство, которое широко известно как усилитель постоянного напряжения, имеющий два входа и один выход. Он отличается высоким коэффициентом усиления, а также имеет большое входное и малое выходное сопротивление. Зачастую, ОУ применяется с отрицательной обратной связью, которая определяет его основные характеристики.

Идеальный ОУ обладает двумя важными параметрами, которые понадобятся нам для всех дальнейших вычислений: напряжения на входах ОУ равны (1), а токи равна нулю (2).

	(1)
	(2)

Интегрирующий усилитель

На рисунке 1а предоставлена принципиальная схема, которая позволяет осуществить интегрирование входящего сигнала. Покажем это, рассчитав уравнение для выходного сигнала.

Рисунок 1. Схема а) интегратора, б) дифференциатора.

Неинвертирующий вход ОУ подключен к земле, применяя правило расчета (1), мы можем сказать, что напряжение в точке А равно нулю (3).

(3)

Аналогично из правила (2) следует:

(4)

Стоит заметить, что постоянный ток не течет через конденсатор, однако при подаче переменного напряжения он будет протекать, следовательно, для конденсаторов мы можем воспользоваться базовой формулой:

(5)

Продифференцируем по времени обе части уравнения (5), получим:

(6)

Вспомним, что ток является производной заряда по времени:

(7)

тогда подставив (7) в (6), мы получим:

(8)

Далее рассчитаем ток, проходящий через резистор , по закону Ома:

(9)

По первому закону Кирхгофа, сумма входящих токов в узел равна сумме токов, выходящих из узла. Тогда для узла А справедливо:

(10)

Подставим в данную формулу уравнения (8) и (9):

(11)

Путем несложных преобразований мы получаем интегральную зависимость выходного напряжения от входного (13):

	(12)
	(13)

Рисунок 2. Смоделированные сигналы интегратора в программе Delta Design.

На рисунке 2 представлен график смоделированного сигнала, где входной сигнал синий, а выходной – красный. Легко увидеть, что при использовании формулы (13) для функции на выходе формируется функция , что соответствует данным на графике. В начальной части сигнала наблюдается незначительное отклонение от идеального сигнала, что объясняется недостаточной точностью данной модели.

Дифференциальный усилитель

Рассмотрим схему (рисунок 2.2) устройства на ОУ, которое позволяет получить дифференцированный входной сигнал.

Воспользуемся теми же соображениями, что и при расчете интегратора (3) и (4). Напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на входе:

(14)

По аналогии с предыдущим пунктом (5) – (8):

(15)

Ток, текущий через резистор, равен току через конденсатор с другим занком, тогда выражение (15) можем записать как:

(16)

отсюда выразим выходное напряжение, можем заметить, что оно имеет дифференциальную зависимость от входного напряжения:

(17)

а) б)

Рисунок 3. Смоделированные сигналы дифференциатора в программе Delta Design.

На представленном графике (рисунок 3) синий сигнал – входной, красный – выходной. На входе подается синусоидальный сигнал, при подстановке синуса в формулу (17) мы получим косинус с отрицательным знаком, что соответствует поученному графику. Объяснение несовершенства выходного сигнала аналогично предыдущему пункту.

Логарифмирующий усилитель

Схема логарифмического усилителя на ОУ представлена на рисунке 4.

Рисунок 4. Схема а) логарифматора, б) антилогарифматор.

Электрический ток, текущий через диод, по закону Шокли:

(18)

где – ток насыщения диода, – элементарный заряд, – напряжение на диоде, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура p-n-перехода.

Напряжение на диоде будет равно:

(19)

мы поменяли направление тока через диод, поэтому оно отличается от предыдущих случаев. По закону Кирхгофа токи будут равны:

(20)

Подставим это в (18):

(21)

Рассмотрим разность в скобках, единица вносит малый вклад относительно экспоненты, поэтому отпустим ее, затем перенесём в левую часть, получим:

(22)

Прологарифмируем правую и левую часть (22):

(23)

тогда выразим выходное напряжение:

(23)

Как итог, мы получили логарифмическую зависимость выходного напряжения от входного.

На графике, представленном на рисунке 5, оранжевая кривая – входной сигнал, зеленая – выходной. Учитывая, что мы изучаем логарифмическую зависимость выходного сигнала, отрицательные значения на графике могут привести к аномальным результатам, так как логарифм не определен для значений меньше единицы. Однако, очевидно, что полученный график соответствует формуле (23).

а) б)

Рисунок 5. Смоделированные сигналы логарифматора в программе Delta Design.

Антилогарифмирующий усилитель

Принципиальная схема устройства, которое позволяет потенцировать входной сигнал, представлена на рисунке 4б.

Ток через диод аналогично (18), единицей пренебрегаем:

(24)

Напряжение на диоде равное напряжению на входе:

(25)

По закону Кирхгофа токи через диод и резистор равны:

(26)

Подставим (24) в (26) и преобразуем:

(27)

В результате мы получили экспоненциальную зависимость выходного напряжения от входного.

На представленном графике (рисунок 6) фиолетовый сигнал – входной, оранжевый – выходной. На рисунке мы можем увидеть, что положительной полуволне соответствует отрицательный пик, а отрицательной полуволне соответствует значение близкое к нулю. Что согласуется с формулой (27).

а) б)

Рисунок 6. Смоделированные сигналы антилогарифматора в программе Delta Design.

Следует отметить, что значения амплитуды напряжения на выходе из вышеперечисленных устройств можно подобрать путем изменения значений электронных компонентов.

Вывод

В данной статье было проведено исследование применения операционных усилителей для анализа и моделирования различных математических функций. Эксперименты показали, что с использованием ОУ можно эффективно создавать схемы для проведения разнообразных математических операций включая: дифференцирование, интегрирование, логарифмирование и потенцирование. Однако, необходимо учитывать ограничения по точности вычислений, что требует дополнительного анализа и корректировок в конкретных прикладных задачах.

Список литературы

В. Х. Осадченко, Я. Ю. Волкова Операционные усилители: учебное пособие/ В. Х. Осадченко, Я. Ю. Волкова — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2020 – 156 c.
Г.И. Асмолов, В.М. Рожков, О.П. Лобов Усилительные схемы в системах транспортной телематики: учебное пособие / Г.И. Асмолов, В.М. Рожков, О.П. Лобов. — М.: МАДИ, 2015 – 88 с.
Копаев В. Логарифмические усилители/ Копаев В. // Электронные компоненты. — 2019. — № 5. — С. 58-61.
А.Р.Мамий, В.Б.Тлячев Операционные усилители / А.Р.Мамий, В.Б.Тлячев — Майкоп: АГУ, 2005 — 192 c.
Михалев П. Микросхемы логарифмических усилителей традиционной схемотехники / Михалев П. // Компоненты и технологии. — 2007. — № 8. — С. 51-58.

Интересная статья? Поделись ей с другими: