УДК 5

Универсальный метод нумерации ортантов в n-мерных и бесконечномерных системах координат

Морозов Алексей Георгиевич – сборщик ООО “ПиццаФабрика”.

Смирнов Максим Михайлович – предприниматель.

Аннотация: Метод описанный в данной статье позволяет нумеровать комбинаторным способом ортанты в декартовой системе координат любых размерностей. Данный метод может стать очень удобным инструментом для исследования геометрических фигур у которых больше трех измерений. Будет интересна широкому кругу специалистов, которым приходится иметь дело с системами координат четыре и более координатных осей.

Ключевые слова: прямоугольная система координат, квадрант, октант, ортант, гиперортант, n-мерное пространство, конечномерное и бесконечномерное пространство, комбинаторный метод нумерации ортантов.

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые – две оси Оx и Оy с указанными на них направлениями осей. Координатные оси разбивают на четыре части называемые четвертями или квадрантами. Часть плоскости, заключенная между положительными полуосями Ox и Оy первым квадрантом. Дальнейшая нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (Рисунок 1). Для всех точек I квадранта х > 0, у > 0; для точек I I квадранта х < 0, у > 0, в I I I квадранте х < 0, у < 0 и в IV квадранте х > 0, у < 0.

Рисунок 1.

В пространстве необходимо уже три координаты. Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, [о более многомерных пространствах – смотрите ниже]) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей. OX – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат.

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными осями, называется октантом. Они считаются при виде сверху на координатную плоскость Oxy против часовой стрелки в следующем порядке: I–IV – верхние октанты. Это часть полупространства от Oxy, где аппликата положительна. A V–VIII – нижние октанты. Это часть полупространства от Oxy, где z-координата отрицательна. Пятый октант находится под первым, шестой до восьмого тогда опять против часовой стрелки (Рисунок 2).

Рисунок 2.

В геометрии есть так же понятия октанта (или гипероктанта), который является аналогом в n-мерном евклидовом пространстве квадранта на плоскости или октанта в трехмерном.

В общем, ортант в n измерениях можно рассматривать как пересечение n взаимно ортогональных полупространств. Благодаря независимому выбору знаков полупространства в n-мерном пространстве есть 2 ортанта.

В одном измерении ортант – это луч. В двух измерениях ортант – это квадрант. В трех измерениях ортант – это октант.

Но современные математики изучают геометрические фигуры не только в двухмерных и трехмерных системах координат. Но и в четырёхмерных, пятимерных и других с большим количеством измерений. Даже люди, которые далеки от математики знают, что такое гиперкуб (тессеракт), гиперсфера, дуопризма, дуоцилиндр, гиперсфера, бутылка клейна, гиперконус, тор клиффорда и многие другие четырёхмерные фигуры. Проблема заключается в том, что хотя оси четырёхмерной системы координат и образуют ортанты, понятной системы нумерации данных ортантов нет.

Причина в том, что изначально нумерация ортантов для двухмерной и трехмерной системы координат была выбрана визуально, а все остальные математики впоследствии с ней согласились. Но остается вопрос: «Как нумеровать ортанты в четырёхмерной системе координат, если ее невозможно приставить визуально?»

Очевидно, что визуальный способ нумерации ортантов здесь не подходит. Нужен комбинаторный метод. Именно такой метод я и хочу предложить в своей статье.

Комбинаторный метод нумерации ортантов

У нас есть произвольная точка с координатами (x, y, z). Все точки, для которых выполняются следующие условия (Таблица 1), мы будем считать лежащим в определённом ортанте.

Таблица 1.

Отличие данного способа от других

В начертательной геометрии есть такое понятие как октант. Октантом называется любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями. Но по своей сути данный метод является нативным (визуальным), т. е. не универсальным. В итоге имеем следующее:

Таблица 2.

Изменим нашу таблицу заменив знак плюс на число 1, а знак минус на число 0. Мы получаем следующее:

Таблица 3.

Данные очень похожи на запись числа в двоичной системе. Переведём их в более привычную нам десятеричную систему:

1 * 2² +1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 1 * 4 + 1 * 2 + 1 = 7

1 * 2² +0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 1 * 4 + 0 * 2 + 1 = 5

1 * 2² +0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1 * 4 + 0 * 2 + 0 = 4

1 * 2² +1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1 * 4 + 1 * 2 + 0 = 6

0 * 2² +1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 0 * 4 + 1 * 2 + 1 = 3

0 * 2² +0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 0 * 4 + 0 * 2 + 1 = 1

0 * 2² +0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 0 * 4 + 0 * 2 + 0 = 0

0 * 2² +1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 0 * 4 + 1 * 2 + 0 = 2

Дополним нашу таблицу с учетом данных полученных выше:

Таблица 4.

Двоичное представления направления осей не совпадает с номером октанта. Но это и не удивительно, так как задачи, которые должен был решить данный способ, указать точно в каком октанте, нужно произвести те или иные действия. И с этой задачей данный способ отлично справляется.

Сделаем то же самое для комбинаторного способа наименования ортантов. В итоге мы получим:

Таблица 5.

Изменим нашу таблицу заменив знак плюс на число 1, а знак минус на число 0. В итоге мы получим:

Таблица 6.

Данные очень похожи на запись числа в двоичной системе. Переведём их в более привычную нам десятеричную систему:

0 * 2² +0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 0 * 4 + 0 * 2 + 0 = 0

0 * 2² +0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 0 * 4 + 0 * 2 + 1 = 1

0 * 2² +1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 0 * 4 + 1 * 2 + 0 = 2

0 * 2² +1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 0 * 4 + 1 * 2 + 1 = 3

1* 2² +0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1 * 4 + 0 * 2 + 0 = 4

1 * 2² +0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 1 * 4 + 0 * 2 + 1 = 5

1 * 2² +1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1 * 4 + 1 * 2 + 0 = 6

1 * 2² +1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 1 * 4 + 1 * 2 + 1 = 7

Дополним нашу таблицу с учетом данных полученных выше:

Таблица 7.

Теперь все: и двоичное и десятеричное представление согласуются.

Но остается еще одна проблема... Что если мы начали свои вычисления в декартовой системе с определенным количеством измерений, но по какой-то причине решили добавить еще несколько измерений.

Например мы начали вычисления в двухмерной декартовой системе координат, но потом решили добавить третье измерение. В этом случае нумерация наших октантов измениться.

На первый взгляд принцип нумерации ортантов очень похож на запись в числа в двоичной системе. Но есть одно различие, которое мы должны учитывать, если хотим, чтоб наш способ был универсальным.

И так у на есть какое то число записанное в двоичной системе. Например 1. Если перевести это число в десятичную систему, то оно будет равно 1. Если к 1 в двоичной системе дописать к 1 справа 0, то мы получим новое число, которое в десятичной системе будет равно 2. Далее мы можем неопределенное количество раз добавлять к нашему числу справа 0 и тем самым увеличивать число в два раза, но каждый раз это будет новое число, которое никак не связано с исходным числом. В нашем случае, это 1 в двоичной системе.

Каждый раз мы будем получать новое число, которое с предыдущим никак не связано. Когда же мы добавляем новое измерение в дополнение к существующим все данные остаются в новой системе координат, поэтому что бы не происходило искажение данных я предлагаю следующее...

Решением данной проблемы могло бы стать требование ставить значение новых координат слева от существующих, но данный способ не совсем удобен, так как большинство людей на земле пишут слева на право, а не наоборот.

Посмотрим на развернутую форму записи двоичного числа. В общем виде она будет выглядеть так: a_{n-1 *} 2^n-1 + a_{n-2 *} 2^n-2 + ... +a_{1 *} 2¹ + a_{0 *} 2⁰. Посмотрев на развернутую форму записи числа в двоичной системе, видим, что значения степени числа 2 записаны в порядке убывания от большего к меньшему, пока степень не становится равной нулю. Чтобы устранить ситуацию, при которой при добавлении одной и более координатной оси меняется номер ортанта, мы можем высчитывать номера секторов по следующей формуле: a_{n-1 *} 2⁰ + a_{n-2 *} 2¹+ ... +a_{1 *} 2^n-2 + a_{0 *} 2^n-1. То есть степень двойки идет по возрастанию, а не по убыванию, как при записи числа в двоичной системе. В этом случае, сколько бы мы не добавили координатных осей, номер нашего ортанта будет равен 4, а не 7, 13, 25 и так далее...

В итоге имеем:

Таблица 8.

В качестве примера создадим таблицу, с помощью которой будем нумеровать октанты с помощью данного метода в четырёхмерной системе координат.

Таблица 9.

Список литературы

1. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.Метод координат. (недоступная ссылка) Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, с. 47-50.