УДК 37.013

Научно-методические особенности обучению математическому анализу в процессе математической подготовки бакалавров

Пергунов Владимир Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент Орского гуманитарно-технологического института (филиала) Оренбургского государственного университета.

Аннотация: Математический анализ и алгебра образуют фундамент математического образования как профильных, так и непрофильных направлений подготовки бакалавров в высшей школе. Именно по этой причине основы анализа включают как необходимый элемент даже самых скромных представлений о высшей математике. Поэтому изложению основ анализа посвящено много книг, адресованных широкому кругу студентов вузов.

Отсюда всегда возникали определенные противоречия между необходимостью формулировать фундаментальные теории математического анализа и готовностью участников образовательного процесса воспринимать эти теории. Другими словами, речь идет об уровне строгости изложения основ анализа для различных категорий слушателей. Особенно остро встает эта проблема при переходе на двух уровневую подготовку. Переход вузов частично на самофинансирование приводит к увеличению наборов студентов за счет выпускников средних специальных учебных заведений, которые не прошли подготовку к ЕГЭ, а потому имеют большие пробелы в школьной математической подготовке, особенно в вопросах тригонометрии, показательных и логарифмических функций, технике действий с алгебраическими выражениями и т. п.

Другая проблема связана с разработкой учебных планов на различных специальностях. Большое количество социально-экономических дисциплин на первом курсе приводит к снижению объема часов базовых дисциплин, в частности и математики.

Конечно, описанные проблемы не являются предметом исследований в области методики преподавания математического анализа, но они создают фон тех проблем математической подготовки, о которых мы хотели поговорить в данной статье. Практически отсутствует специальная методическая подготовка преподавательских кадров вузов, поэтому уровень преподавания целиком и полностью зависит от профессиональной подготовки самих кадров, их опыта преподавания того или иного курса, а также используемой литературы по читаемой дисциплине. В данной статье предлагаются некоторые соображения по разрешению ряда противоречий между необходимыми требованиями математической подготовки бакалавров при изучении основ математического анализа и уровнем изложения теории. На основе многолетнего опыта преподавания математического анализа для различных специальностей предлагаются рекомендации методического характера изложения некоторых фундаментальных понятий начал математического анализа.

Ключевые слова: математический анализ, логика предикатов, предел функции, непрерывность функции, производная, дифференцируемость.

Начнем с того, что почти все фундаментальные понятия математического анализа, или как говорили классики анализа бесконечно малых величин формируются на первом курсе. Однако не секрет, что вчерашние школьники не имели дело в разделе начал математического анализа с какими-либо доказательствами теорем, за исключением вывода некоторых формул.

Всякая математическая теория начинается с описания множества, которое лежит в основе этой теории, его свойств и сопутствующих понятий. Классический математический анализ строится на множестве действительных чисел. Здесь важно понимать, как мы определяем множество действительных чисел. Если мы рассматриваем его как числовое поле, то уместно рассматривать свойство операций над его элементами. Однако обычно параллельно читается курс алгебры, где специально рассматривается теория алгебраических структур, да и свойства алгебраических операций на множестве действительных чисел вовсе не являются темой математического анализа. Для специфики доказательств в анализе нужны другие свойства. А именно: линейная упорядоченность, плотность и непрерывность множества действительных чисел.

Не говорить об этих свойствах нельзя, так как тогда вообще зачем говорить о множестве действительных чисел. Для математической записи определений, свойств, формулировок теорем понадобится символика математической логики.

Авторы некоторых учебников и пособий часто используют эту символику для сокращения записи. Например, могут в обычном словесном тексте записать значок квантора общности без привязки его к предикату, просто заменив, например, фразу «для всех элементов из множества D» на обозначение , а дальше продолжают обычный текст [4, стр.122]. Тоже происходит и с обозначениями логических операций. Квантор всегда навешивается на предикат, и записывать значок квантора как участника логической операции не допустимо. Очень жаль, что это проскальзывает в общем то хороших пособиях. Возвращаюсь за примером к учебнику Письменного Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Процитирую полностью его определение ограниченной функции: « Функция  , определенная на множестве  называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех , выполняется неравенство . (Короткая запись:  называется ограниченной на  ,если »

Давайте разберемся в обозначениях: есть логическая операция импликация, соответствующая двойному союзу « если..., то...». Обозначается:  (A-посылка, B-заключение) [2]. Импликацию часто обозначают и двойной стрелкой, , однако интерпретируют это как влечение высказывания B из высказывания A. Последнее надо понимать так, что, когда A истинно, B так же принимает значение «И». Но это значит, что тогда и только тогда, когда формула  тождественно истинна. В любом случае запись  лишена на наш взгляд всякого логического смысла. Правильно было бы записать так: . Отсюда легко построить определение неограниченной функции на множестве D:

 =,

т. е. функция f(x) не ограничена на множестве D , если для любого положительного числа M, найдется точка для которой выполняется неравенство .

Вернемся к свойствам множества действительных чисел. Ввиду ограниченности времени и с учетом подготовки студентов первокурсников широко развивать элементы теории множеств не стоит, а остановимся на тех свойствах, которые необходимы для развития теории самого математического анализа.

Во-первых, определим множество рациональных чисел, например, как множество дробей вида . Можно сослаться на утверждение из алгебры о том, что всякое рациональное число представимо либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной , но периодической десятичной дроби. Тогда всякое число , десятичная запись которого представляет собой непериодическую бесконечную десятичную дробь, называют иррациональным числом. Обозначим множество иррациональных чисел буквой I. Объединение множества рациональных и иррациональных чисел назовем множеством действительных чисел. Обозначим .

Определение. Множество M  называют линейно упорядоченным, если для любых двух его элементов , определено отношение «меньше» , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. Иррефлексивность – никакое число на может быть меньше самого себя.

(Если ясно о каком множестве идет речь, можно в формулах его не указывать каждый раз)

2. Транзитивность

3. Трихотомия

Свойство 1. Множество действительных чисел R линейно упорядочено.

Свойство 2. Множество действительных чисел обладает свойством плотности: , т. е. между двумя различными действительными числами всегда найдется третье действительное число. В более сильной формулировке: между двумя действительными числами найдется рациональное число.

Свойство 3. Во множестве действительных чисел отсутствуют наименьшее и наибольшее числа.

Свойство 4. Непрерывность

Это наиболее сложное свойство. Существует два подхода к определению непрерывности множества действительных чисел: по Дедекинду и по Кантору. Причем, в зависимости от принятого определения существенно зависят методы доказательства теорем и их последовательность изложения.

Остановимся на формулировке принципа Дедекинда. Сначала рассмотрим следующие понятия:

1. Пусть M – линейно упорядоченное множество. Сечением множества M назовем пару множеств (X, Y), если выполнены следующие три условия:

а) множества не пусты, т. е.

б)  – говорят, что множества X и Y образуют разбиение множества M

в)

X – нижний класс сечения, Y – верхний класс сечения.

2. Число  называется рубежом сечения (X, Y), если выполнены следующие два условия:

а) всякое число меньшее  попадает в нижний класс X

б) всякое число большее  попадает в верхний класс Y.

Рубеж  может принадлежать как нижнему классу, так и верхнему классу сечения. Если рубеж принадлежит нижнему классу, то он является наибольшим в этом классе, если рубеж принадлежит верхнему классу, то он является наименьшим элементом в этом классе.

Свойство непрерывности:

Всякое сечение множества действительных чисел имеет рубеж, который принадлежит либо нижнему классу и является в нем наибольшим элементом, тогда в верхнем нет наименьшего, либо верхнему классу и является в нем наименьшим, при этом в нижнем классе нет наибольшего.

Замечание: множество рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. Например, число  является рубежом сечения во множестве рациональных чисел, но не является рациональным.

Следующее замечание касается определения ограниченности множества. Многие авторы учебников, особенно не математических специальностей рассматривают понятие ограниченности данного множеств в целом. Это связано с тем, что они не собираются доказывать фундаментальные теоремы математического анализа и попросту опускают понятие точных границ множества, на которых базируются эти доказательства. Однако для будущих математиков, в том числе и учителей математики, доказательства теорем составляют основу их математической подготовки и, если хотите основу формирования математического мышления. Примем следующие определения:

Определение1.

{Множество E ограничено снизу}

Определение 2.

{Множество E ограничено сверху}

Определение 3.

{Множество E ограничено}

Определение 4. Число M называется точной верхней гранью (Т.В.Г) множества E, если выполнены следующие два условия:

а)

б)

Обозначают .

Определение 5. Число m называется точной нижней гранью (Т.Н.Г) множества E, если выполнены следующие два условия:

а)

б)

Обозначают

Используя определение непрерывности множества, доказывается существование Т.В.Г. у всякого ограниченного сверху множества и Т.Н.Г. у всякого ограниченного снизу множества, а также свойства минимальности Т.В.Г. и максимальности Т.Н.Г. из всех верхних и соответственно нижних границ данного множества [1], [5].

Определение точных границ множества проходит красной линией через весь математический анализ. Отметим так же неоспоримую важность теоремы Кантора о стягивающейся последовательности вложенных сегментов и теоремы Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности, доказательство которых нежелательно обходить.

В свою очередь эти теоремы основаны на признаках сходимости числовых последовательностей. Особенно хочется отметить важность двух теорем, выражающих достаточные условия сходимости числовых последовательностей.

Теорема 1. Если числовая последовательность  не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел равный .

Теорема 2. Если числовая последовательность  не возрастает и ограничена снизу, то она имеет предел равный inf.

Определение точных границ множества непосредственно используется при доказательстве свойств сумм Дарбу и построении критерия интегрируемости. При построении понятия квадрируемости плоской фигуры и кубируемости тел.

Конечно, наиболее сложным для студентов первого курса является определение предела функции в точке на языке  или по Коши:

Определение: пусть функция f(x) определена на множестве E, и точка x = a предельная точка множества E. Число A называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого положительного числа ε существует положительное число δ, такое, что для всех  из неравенства  следует неравенство .

В кванторах это определение можно записать следующим образом:

Запишем решения указанных неравенств с модулем в виде интервалов:

,

Обозначим

 и назовем δ-окрестностью точки a,

 – ε-окрестность точки A.

На языке окрестностей определение предела имеет вид:

Число A называется пределом функции f(x) в точке a, если для любой ε-окрестности точки A найдется такая δ-окрестность точки a, что для всех  и попадающих в δ-окрестность точки a, соответствующие значения функции попадают в ε-окрестность точки A.

Мы сформулировали определения для случая, когда a и A – конечные числа. Обобщим это определение на случаи, когда a и A принимают бесконечные значения. Для начала обобщим понятие окрестности бесконечно удаленной точки.

Окрестностью конечной точки назовем любой интервал, содержащий эту точку.

Окрестностью точки  назовем любой бесконечный интервал  или множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Окрестностью точки  назовем любой бесконечный интервал  или множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Окрестностью точки  назовем интервал  или множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Тогда можно сформулировать определения пределов в бесконечно удаленных точках и пределов равных бесконечности:

.

При записи определений в кванторах легко сформулировать метод от противного, состоящий в переходе к контрапозиции исходной импликации

 . Например, при доказательстве равносильности определений предела функции в точке по Гейне (на языке последовательностей) и по Коши, можно использовать метод от противного:

Дано:  по Гейне, т. е.

Доказать:{ по Коши}.

Доказательство: допустим противное

 =

= .

Существует , такое, что для , существует ,

,

По свойству пределов последовательностей, при , , тогда по определению Гейне , т. е. , начиная с некоторого номера n для данного числа ε, выполняется неравенство , что противоречит нашему предположению.

Доказательство обратного утверждения мы опустили. Еще раз подчеркнем, что использование символики и законов математической логики позволит уменьшить объем вербального текста при записи лекций, облегчит запоминание и понимания структуры доказательств.

Изложение понятия непрерывности функции достаточно полно и интересно дается в книге [1] Зорича В. А. Математический анализ (часть I). Можно спорить об объеме изложения свойств непрерывных функций, но на наш взгляд нельзя пропускать вопрос о существовании обратных элементарных функций, в частности обратных тригонометрических функций. Дело в том, что в школьных учебниках не дается обоснованного определения функций , ученики порой не знают даже графиков этих функций. К сожалению, и в учебниках по Высшей математике об этих функциях говорят как о примерах элементарных функций и приводят лишь их графики. Для будущих учителей математики необходим более глубокий подход к изучению введения в анализ, особенно понятия функции.

И еще один важный аспект преподавания математического анализа – это его геометричность. Поскольку раздел Дифференциального исчисления функций одной переменной заканчивается исследованием функций и построения графиков, то студенты должны представлять поведение графика функций в окрестности характерных точек: дифференцируемости, отсутствия дифференцируемости, экстремума или просто критических точек, точек перегиба и асимптот. Иначе научиться строить график функции, даже проведя полное исследование будет затруднительно, что мы часто наблюдаем на практике.

Остановимся подробнее на отсутствии дифференцируемости непрерывной функции. Мы говорим, что функцию называют дифференцируемой, если она имеет конечную производную. Для построения примеров не дифференцируемых непрерывных функций потребуется вводить понятие односторонних производных, как левого и правого пределов отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Отсюда можно сформулировать один из критериев дифференцируемости функции одной переменной: для того, чтобы непрерывная функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные односторонние производные и совпадали между собой. Невыполнение хотя бы одного условия влечет отсутствие дифференцируемости. Уже классическим примером отсутствия дифференцируемости является функция . Чтобы подчеркнуть геометрическое содержание этих понятий, не мешает привести и такой пример . Обратить внимание на то, что в точке  имеется две различные касательные  и . И вообще, пример не дифференцируемой функции легко построить. Если функция  непрерывна и обращается в нуль в некоторой точке  (пересекает в этой точке ось абсцисс), то функция  не дифференцируема в точке , если ось OX не является касательной.

Легко понять, что в таких точках график функции терпит излом. Становится понятным, что если функция дифференцируема в каждой точке области определения, то ее называют гладкой и это соответствует наличию в каждой точке единственной касательной и нашему представлению о гладкости кривой.

Реже в литературе можно встретить геометрическое представление функции в окрестности точек, в которых производная обращается в бесконечность. Используя геометрический смысл производной и определение касательной как предельного положения секущей, не трудно понять, что в таких точках касательная перпендикулярна оси абсцисс. Рассмотрим вид графика в окрестности точек, в которых , , .

2) ,

Рисунок 2

3) , причем , а

Рисунок 3

4) , причем , а

Рисунок 4

После этого легко перейти к терминам острого и гладкого экстремума. Закрепить можно примером [5]: исследовать на экстремум и построить эскиз графика функции .

Опуская вычисления приведем результат

Таблица 1.

  - точка острого минимума.

Эскиз графика в окрестностях критических точек имеет вид

Рисунок 5

Отметим, что имеется очень большой объем книг, учебников, учебных пособий по математическому анализу и перечислять их все не имеет смысла. Каждый, кто читает этот курс, определяет для себя свой круг литературы в соответствии своих предпочтений и своего видения предмета. В данной статье использовались в качестве сравнения те источники, которые могут быть рекомендованы для студентов технических, экономических и педагогических направлений.

Список литературы

1. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. – Изд. 10-е, испр. – М.: МЦНМО, 2019. – 564 с.
2. Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений/ В. И. Игошин. – 2-у изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с.
3. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/Н. Ш. Кремер и др.; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.
4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).
5. Пергунов, В. В. Математический анализ: экспресс-курс для подготовки к государственному экзамену [Электронный ресурс]: учеб. пособие/В. В. Пергунов. – 3-е изд., стер. – М.: ФЛИНТА, 2014. – 203 с.