Классифицирование трехмерных многообразий посредством спирального расслоения

Савинов Сергей Николаевич – младший научный сотрудник ООО «Лаборатория метеотехнологий».

Аннотация: Описана новая разновидность расслоения - спиральное расслоение, произведено классифицирование и охарактеризованы топологические типы одно- и двухмерных размерностей этого расслоения. На основании принципа тождественности соотнесены до гомотопий многообразия спирального расслоения и n + 1 мерные многообразия.

Ключевые слова: двумерные, трехмерные многообразия.

Основные понятия

Спиральное слоение (Spiral bundle, Sb) является непрерывным n-мерным слоением со спиральной симметрией без особенных точек, такое, что одномерное расслоение гомеоморфное прямой, двумерное – плоскости. Спиральная симметрия есть инвариантное к деформации свойство расслоения. В статье будут рассмотрены многообразия спирального расслоения одно- и двухмерные, без края, ориентируемые.

Геометрическое построение спирального расслоения удовлетворяет следующим условиям: 1 – тривиальность образующей спиральную структуру, 2 – непрерывность (для одномерного непрерывность вектора – n на протяжении всей структуры, для двухмерного построения – также непрерывность всех m, ограниченных в каждом витке радиально) , 3 – непересекаемость, 4 - спиральная симметрия, 5 – выполнение условия локальной связности.

В объеме параметров и свойств спирального слоения представленного в статье получаемые одно и двухмерные с покрываемыми ими многообразиями являются ориентируемые, без края, не более двусвязности.

Метрика

Метрика Sb определяется числами: k – порядковый номер витка, n – координата одномерного спирального расслоения, m – вторая координата двухмерного спирального расслоения, η – окрестность точки. Соответственно, для одно- и двухмерных координаты метрики Sb соответствуют выражениям (1):

, (1)

Для двухмерного многообразия вторая координата определяется как зависимая (2) от n.

, (2)

Инвариантность витков

Многообразия спирального расслоения образуются функциями непрерывного отображения витков спирали, таким образом, элементом спирального расслоения является отображение витка. Спиральная структура имеет смысл при количестве витков . Замкнутость витка

[если несколько витков образованных непрерывной последовательностью, и вырезать из неё участок (a,b) имеющий граничную точку a в k-1 и вторую граничную точку b в k+1, то величина витка k будет ]

Пределы Sb

Под пределами подразумевается характеристика функции размерности витков . Поскольку виток есть замкнутая, то  , как будет указано далее при сохранении локальной связности .

Поскольку Sb² является аппроксимацией Sb¹ путем дополнения размерности, то аналогом точки сходимости Sb¹ для Sb² является одномерная кривая сходимости. Пределы для Sb² определяются аналогично для Sb¹ при принятии функциипо координате n.При условии без края и при выполнении условия локальной связности в любой части структуры допускается замыкание структуры в точку сходимости  . При замыкании витковпринимает форму периодической функции с периодом N.

При инвариантности структуры спирального расслоения, величины α и β характеризуют различные группы спиральных многообразий, составляющих соответственно топологические типы при гомеоморфизме и сохранении параметров α и β.

Сохранение спиральной структуры при гомеоморфизме определяется сохранением условия локальной связности и непрерывности спиральной структуры. Непрерывность спиральной структуры соответствует непересекаемости и непрерывности. Замкнутость витков и непрерывность спиральной структуры по теореме Жордана образует ориентируемое многообразие, таковы все рассмотренные в статье многообразия.

Не пересекаемость в витке (в частности) выполняется – однозначностью функции (график функции, при одном и том же наборе аргументов и констант в уравнении может быть только одно решение, нет такой точкичтобы предыдущие и последующие решения отличались). Непересекаемость и непрерывность при отображении сохраняются.

Спиральная структура многообразий Sb одной размерности может быть классифицирована на топологические типы только по параметрам их пределов α,β, для Sb² также γ,δ.

Условие локальной связности

Дополнительным условием сохранения топологической структуры многообразий Sb является выполнение условия локальной связности, соответствующее выражениям (1),(2). Локальная связность есть контакт окрестностей двух точек или групп точек витков a,b при , при равных координатах n, для Sb² также с равной координатой m, инвариантное к расположению точек и не пересекающиеся с другими подобными контактами. Условие локальной связности является аналогом сюръективного отображения витков.

Выполнение локальной связности возможно при непрерывности, непересекаемости и последовательной локализации в пространстве отображений витков спирали Sb, при невыполнении этих свойств локальная связность нарушается. То есть выполнение локальной связности определяет сохранение соотношения элементов топологической структуры Sb. Условие локальной связности обеспечивает покрытие образуемого многообразия дополняя размерность n+1 основы спирального расслоения до размерности образуемого (покрываемого) n-мерного многообразия. Локальная связность для двух точек Sb выражается через формулы: (3) для Sb¹ , (4) для Sb².

(3);

Условие локальной связности описанное выражениями (3)(4) является обязательным для Sb, соответственно всякий контакт (пересечение) окрестностей точек Sb не соответствующее этому условию и не являющихся точками самой структуры является не каноническими.

При коллапсировании отображения витка неизбежно возникает контакт окрестностей точек относящихся к одному витку, то есть выражение (3) примет вид.Возникшая локальная связность не каноническая.

Однако при  , то есть если виток является предельной точкой, то выражение (3) примет вид  , локальная связность каноническая, окрестности всех точек витка локально связаны с предельной точкой последующего витка. Точка сходимости является прекращением структуры поскольку прекращается метрика (в выражении (3))

 ), предельная точка не является витком.

В случае Sb² вместо предельной точки имеется предельная одномерная кривая, поскольку Sb² является аппроксимацией Sb¹.

В некоторых многообразиях Sb² имеется область неканонической локальной связности, при которой выражение (4) . , которые возникают вследствие формирования числом k фундаментальной группы двусвязного многообразия.

Непрерывное выполнение условия связности для одномерного спирального расслоения покрывает только многообразия без края.

Уравнения спирального расслоения

В основе Sb² лежит уравнение одномерной спирали с функцией  размерности витков и непрерывных отображений витков в непрерывную и непересекающуюся кривую. Функция периодическая, периодичность которой соответствует разделению одной общей последовательности на витки (5).

,(5)

– функция размерности витков и её пределы α и β , k – индекс порядка витка, D – функция (суперпозиция функций) непрерывного отображения витков.

Под замкнутостью кривой отображения витка понимается замкнутость кривой полученной от проекции на плоскость x-y части спирального расслоения соответствующей по оси z шагу спирали, то есть витку.

Индекс порядка витков k есть целое, число составляющее замкнутое или открытое непрерывное множество из континуума натурального ряда, поэтому допустимо считать одномерную структуру спирали образованный непрерывным вектором с соответствующей одномерной метрикой.

Многообразия Sb² образованы непрерывным слоением двумерной поверхности по спиральной симметрии, так что это есть линейчатая поверхность (6), направляющая которой (координата n) есть однозначная функция спирального расслоения Sb¹, а образующая образована однозначной функцией (метрическая координата m). γ,δ – пределы дополняющей линейной последовательности (координата m).

,(6)

Sb инвариантна системе координат, то есть координаты x`, y`, z` соответствуют соотношениям (7), (8):

,(7)

x, y, z – система декартовых координат в которых построена Sb.

Топологические типы Sb¹

Топологические типы многообразий Sb¹ определяются параметрами α и β – пределами функции. Для многообразий без края возможны 4 топологических типа.

α = 0 ,β = ∞; α = ∞,β = 0 (изобр. 1.1): тождественное многообразие Ms² некомпактное ориентированная поверхность (без края), например, двумерная евклидовая плоскости.

α = ∞,β = ∞ (изобр. 1.2): тождественное многообразие Ms² некомпактное (секвенциально компактное) двумерная ориентируемая однополосная поверхность, например, однополосный гиперболоид или катеноид.

α = 0 ,β = 0 (изобр. 1.3): тождественное многообразие Ms² компактная ориентируемая односвязная двумерная поверхность, например, двумерная сфера (9).

(9)

α = N, β = N (тороид): в структуре винтовая структура замыкается на некотором витке N, то есть тождественное многообразие Ms² компактная, ориентируемая двусвязная поверхность. Количество вариантов структуры соответствует фундаментальной группе тороида.

Топологические типы многообразий Sb²

Топологические типы многообразий Sb² определяются пределами α и β, а также δ, γ. Многообразия без края, до двусвязности возможно разделить на топологические типы:2 базисных и 8 составных. Для многообразий составных типов пределы спиральной последовательности определяются пределами последовательности составляющих базисных.

Базисные Sb²

Sb² Screw (изобр. 2.1): γ = v(z), δ = ∞. (γ = v(z), δ = ∞). α = ∞, β = ∞. Направляющая есть винтовая, образующие сходятся к γ - линия f(z), координата m есть луч. Тождественное многообразие Ms³ есть некомпактное, ориентированное, односвязное, например, геликоид.

Sb² Roll (изобр 2.2): γ = ∞, δ = ∞ (, α = 0, β = ∞ (α = ∞, β = 0), Направляющая есть спираль, параллельные образующие. Тождественное многообразие Ms³ есть некомпактное, ориентируемое, односвязное многообразие.

Составные Sb²

Sb² Roll # Sb² Screw = Sb² Soliton (изобр. 2.3). Тождественное многообразие Ms³ есть некомпактное, ориентируемое, односвязное многообразие.

Sb² Roll # Sb² Screw # Sb² Roll = Sb² Cigar (изобр. 2.4). Тождественное многообразие Ms³ есть секвенциально компактное по спиральной симметрии (координата n), односвязное, ориентируемое многообразие .

Sb² Screw # Sb² Roll # Sb² Screw = Sb² Shell (изобр. 2.5). Тождественное многообразие Ms³ есть секвенциально компактное по дополнительной размерности (координата m), не компактное по спиральной симметрии, односвязное, ориентируемое многообразие.

Универсальный тип … Sb² Screw # Sb² Roll # Sb² Screw # Sb² Roll …

Sb² Screw, = Sb² Toroid 1. Тождественное многообразие Ms³ есть секвенциально компактное по спиральной симметрии, двусвязное (неканоническая локальная связность открытая область).

Sb² Screw,  = Sb² Toroid 2 (изобр. 2.6). Тождественное многообразие Ms³ есть секвенциально компактное по спиральной симметрии, двусвязное (неканоническая локальная связность открытая область), также имеется замкнутая область неканонической локальной связности (пустоторие).

Sb² Roll, = Sb² Toroid 3 (изобр. 2.7). Тождественное многообразие Ms³ есть двусвязное (замкнутое множество по m), компактное (за счет коллапсирования), структура сходится к точке коллапса (структура без края коллапсирует по координатам mс равной n).

Sb² Roll, } = Sb² Toroid 4 (изобр. 2.8). Тождественное многообразие полностью компактно за счет коллапсирования, двусвязное (замкнутое множество по m), имеется две точки коллапса (точка , и точка с определеннымиm, n).

Возможет тип (Sb² Screw # Sb² Roll)circum и его вариации – торы с точкой коллапса.

Многообразия Sb² построены по принципу аппроксимации от Sb¹, так что в основе его группы спиральных подпоследовательностей N (координата n) и группы дополняющих линейных подпоследовательностей M (координата m). Всякая точка Sb² принадлежит обеим последовательностям N, M и является их пересечением.Компактность спирального расслоения Sb² определяется пределами спиральной симметрии (групп спиральных последовательностей).Подпоследовательности М слабо привязаны к спиральным подпоследовательностям, таким образом, компактность подпоследовательностиM не связана со спиральной симметрией. Дополнительным условием компактификации (ретракции) подпоследовательностей М является соотношение пределов (10):

 ,(10)

Кривизна многообразий Sb²

Кривизна многообразий выражается в анизотропии слоев расслоения.

Последовательные двумерные слои спиральной структуры  возможно охарактеризовать величиной угла между ними, точнее угол между m с равными индексами n соседних слоев, а также угол линии m с равным индексом n одного слоя . Совокупное соотношение этих углов можно обозначить как анизотропию расслоения.

Кривизна многообразия есть суммарная анизотропия всего расслоения Sb² и возможно характеризовать величиной суммы углов для всех составляющих это расслоение плоскостей относительно некой точки принадлежащий многообразию (точке с координатами ). Данная точка принимается за точку отсчета прямоугольной декартовой системы координат разбивающей многообразие, например, на 8 секторов (N=8). Вершины углов обращены к данной точке. Величина анизотропии равна сумме углов по 8 секторам которая рассчитывается для геометрического построения по выражению по координате m (11):

,(11)

ВеличинаанизотропииSb² Cigar Am = 1 (верхнийположительныйпредел), An = -1/2; дляSb² ShellAm = -1 ,An = -1; дляSb² Soliton Am = 1/2 ,An = -1/4;дляSb² Roll Am = 0 ,An = -1; Sb² Screw Am = 0 ,An = 0; Sb² Toroid 1 Am = 0 ,An = 0. Анизотропия An (только n) является следствием спиральной структуры расслоения и её учет искажает характеристику кривизны многообразия.

Величина анизотропии Sb² соотносится также с кривизной двумерного многообразия полученного визуализацией данного Sb².

Визуализация Sb²

Под визуализацией подразумевается преобразование Sb² в двумерное многообразие посредством общей функции. Образуемая двумерная поверхность V² гладкая, без края такая, что пересекает все слои расслоения Sb² двугранными углами, не являясь касательной к пересекаемым слоям, то есть нет области где бы выполнялось условие

Образуемая поверхность минимальна, её построение производится при условии функции B образующих минимальную по координате m.

Получаемое многообразие есть двумерная поверхность без края, ориентируемая, без пересечений и разрывов, обладающая компактностью соответствующей секвенциальной компактности Sb (по спиральной образующей), обладающее величиной связностью равной таковой для Ms³.

Результатом визуализации Sb² Cigar является компактная замкнутая ориентируемая двумерная поверхность, односвязная, гомеоморфная, например, двумерная сфера. Визуализация Sb² Screw - некомпактная поверхность гомеоморфная однополосному гиперболоиду, возможно расходящаяся, но асимптотически подходящая к поперечной плоскости. Визуализация Sb² Roll – некомпактная двумерная поверхность, плоскость, которая может асимптотически смыкаться к оси. Визуализацией Sb² Shell является двумерная поверхность асимптотически сходящаяся к осям и смыкающиеся в бесконечную плоскость по экватору, например, двумерная псевдосфера (изобр. 3).

Многообразия toroid 3 и toroid 4 при визуализации образуют неопределенный результат ( химеру).

Соответствие

1. Следует уточнить понятие тождественности. Многообразия Σ и Υ тождественные, если . Многообразия тождественны, не зависимо от различия их геометрических структур и, соответственно, имеют тождественныесвойства, выраженные в соответствии со структурой.

2. Если принять локальную связность за многообразие, дополняющее спиральное слоение, то локальная связность, связывая слои, дополняет тем самым размерность n-мерного спирального слоения на 1 при отождествлении с топологическим пространством. То есть  дополненное локальной связностью тождественно ,  -  (изобр. 1.2).

3. Если два многообразия Σ и Υ тождественны многообразиями и  относящимися к одному топологическому типу Ω, то они гомеоморфные между собой.

4. Если многообразия Σ и Υ являются тождественными, они обладают тождественными свойствами, сохраняющиеся при гомеоморфизме. Сходные свойства выражаются различно в соответствии с различием структур многообразий Σ и Υ.

Если Σ и Υ - два многообразия, a и b - их топологические структуры, π- общее свойство двух многообразий, μ и η – свойства, выраженные для данной структуры.

Тождественность Sb² Cigar и S³

Многообразие Sb² Cigar с ретракцией тождественно трехмерному, односвязному, компактному многообразию .

В соответствии с теоремой Пуанкаре топологическая группа трехмерных, компактных, односвязных многообразий тривиальна и обладает положительной кривизной.

Величина анизотропии (кривизны) Sb² Cigar является постоянной положительной и достигает верхнего предела. Таким образом, соответствуя теореме о сфере, топологический тип ретракции SbCigar тождественно многообразию гомеоморфному сфере .

Рисунок 1. Графические приложения.

Список литературы

1. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию (3-е издание, исправленное и дополненное)// М.: - 2015.
2. О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология.// М.: МЦНМО - 2012.
3. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Том Геометрия и топология многообразий // М.: ДРОФА - 2013.
4. Thurston W. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. // Princeton University lecture notes, 1978—1981.
5. А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии.// СПб.: Лань, - 2010.
6. Л.С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. // М.: Едиториал УРСС, - 2004.
7. С.В. Матвеев. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий.// М.: МЦНМО, - 2007.