УДК 501
Иерархические структуры нечётких бинарных отношений для оценки качества сложных систем
Ефремова Наталия Алексеевна – кандидат физико-математических наук, доцент Российского университета транспорта (МИИТ).
Аннотация: Данная работа посвящена математическому моделированию с использованием нечётких множеств. Основным содержанием статьи является исследование условий, обеспечивающих координацию задач оптимизации, последовательно решаемых на различных уровнях иерархии сложных систем при нечётко заданной информации.
Ключевые слова: Математические модели, методы, иерархические структуры, оптимизация, нечёткие бинарные отношения, сложные системы.
В настоящее время всё большую и большую популярность при моделировании сложных систем завоёвывают нечёткие множества. Математическому моделированию с использованием нечётких множеств посвящены работы в различных областях. В экологическом моделировании явлений и понятий, которые имеют многозначный и нечёткий характер много как ни в одной предметной области. Реальным же условиям адекватнее рассматривать не только экологические составляющие, но и в общем случае рассматривать большие био-социо-экономические системы, и тогда количество явлений и понятий, имеющих многозначный и нечёткий характер, очевидно, увеличивается.
Пусть варианты системы описываются набором параметров (
- размерность), принимающим значения из множества
. Сравнение результатов функционирования системы и её подсистемы определяют на множестве
бинарные отношения
, задаваемые функциями принадлежности
и определяющие сравнительную оценку эффективности:
означает степень достоверности утверждения: «альтернатива
предпочтительнее альтернативе
по i-му свойству». В частности, информация о подсистеме может быть точной (чёткой) и в этом случае
являются чёткими бинарными отношениями. В общем случае будем считать хотя бы одно из отношений
, нечётким.Задача состоит в том, что должны быть приняты «чёткие» решения на основе нечёткой информации. В подобной ситуации известны результаты для технических систем [1].
Пусть - параметр, характеризующий степень достоверности информации о системе, являющейся подсистемой сложной иерархической структуры.
Аналогично “0” – ому уровню, на j – ом уровне, , схемы сравнения подсистема описывается вектором
На множестве
заданы бинарные отношения
,
, определяющее сравнительную оценку, при этом хотя бы одно из отношений является нечётким.
Использование нескольких отношений возникает как за счет рассмотрения разных аспектов выбираемых вариантов, так и за счет того, что в процедуре выбора могут принимать участие лица с несовпадающими точками зрения. Чаще всего на практике при наличии нескольких отношений используется способ, с помощью которого по ним строится некоторое новое отношение и производится сравнение по этому отношению.
В данной работе используется – сумма отношений [2], определенная для отношений “j ”-го уровня,
,
,
, как
для всех
На произвольном - ом уровне,
, схемы сравнения каждый вариант представим набором значений
,
, где
– оператор проработки, эквивалентный оператору проработки в функциональных моделях систем проектирования.
Вектор описывает полную систему, а вектор
– элементы системы, имеющие наиболее простую внутреннюю структуру. Транзитивно замкнем отношения
Для обеспечения корректной оценки качества в сложной иерархической системе установим условия согласования задач оценки качества отдельных подсистем и системы в целом.
Принципы оценки качества будем называть согласованными, если для любых (номера уровней),
,
и любых
из соотношения
следует, что для любого
найдется
, где
– заданные ψ-суммы бинарных отношений соответствующего уровня.
Обозначим – множество вариантов, имеющих лучшие показатели, и предположим, что это множество не пусто.
На множестве всех подмножеств множества
зададим бинарное отношение
, положив
тогда и только тогда, когда
внешне устойчиво в модели
,
.
Введем отображение
,
, определив
как множество индексов
, для которых отображение
является гомоморфизмом модели
в модель
.
Введем также булевские – вектор-функции
,
:
, положив для
- ой компоненты,
:
Справедлива следующая теорема:
Пусть для любого
и для всех
Тогда
, если
и
антисимметрично.
Доказательство теоремы можно провести, используя технику доказательства, приведённую, например, в работе [3].
Список литературы
- Краснощёков П.С., Морозов В.В., Фёдоров В.В. Внутреннее проектирование технических систем в условиях неопределённости. – Изв. АН СССР, Сер. Тех. кибернетика, 1982, № 2, с. 56-62.
- Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. – М.: Наука, 1982.
- Ефремова Н.А. К вопросам моделирования сложных экологических систем//В Сб. Системные проблемы надёжности, качества, информационно-телекоммуникационных и электронных технологий в инновационных проектах. М.: Университет машиностроения, 2012, с.62-69.