УДК 53

Учет показателя преломления при восстановлении "томограммы" в ограниченном угле обзора

Климин Андрей Олегович – аспирант кафедры Электродинамики Радиофизического факультета Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Аннотация: В процессе роста водорастворимых кристаллов возможно возникновение дефектов кристаллической структуры. Для определения положения неоднородности внутри оптического элемента был использован метод восстановления компьютерных томограмм с использованием преобразования Радона, предварительно модернизированный для учета изменения показателя преломления на границе исследуемого элемента. Приведено сравнение результата восстановления при использовании стандартного метода и с учетом скачка показателя преломления, показана корректность модернизации.

Ключевые слова: Нелинейно-оптические элементы, Томография, восстановление томограмм, дефекты кристаллической структуры.

В процессе роста водорастворимых кристаллов возможно возникновение дефектов кристаллической структуры. Пример такого дефекта представлен на рис.1. Наличие подобных неоднородностей приводит к искажению волнового фронта, проходящего сквозь них излучения. Исследование кристалла на наличие дефектов необходимо для повышения качества готовых оптических элементов, отбраковки заготовок, совершенствования процесса роста.

Теневой метод, применяющийся при исследовании кристаллов, обладает высокой чувствительностью к искажению волнового фронта. Использование данного метода позволяет определить наличие дефекта, но не дает информацию о местоположении неоднородности внутри кристалла и ее структуре. В настоящей работе рассматривается вопрос о применимости одного из методов томографического восстановления для получения данной информации. Различные томографические методы широко применяются для анализа данных полученных с использованием интерферометрических установок, проекционных данных и т.д.[1].

Задача восстановления изображения в компьютерной томографии сводиться к задаче нахождения исходной функции по известным интегралам от этой функции вдоль прямых, которые проходят сквозь нее под разными углами от 0 до 180 градусов. Результатом рассмотрения Иоганном Радона в 1917 этой задачи стали понятия прямого и обратного преобразования Радона. Геометрический смысл прямого преобразования Радона изображен на рис.2. и представляет собой интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной оси x’, образованной поворотом оси x на угол θ и проходящей на расстоянии x’ от начала координат. Дискретизация преобразования Радона приводит кто тому, что искомая функция f(x,y) заменяется двумерным массивом данных (изображением) I(i,j), а интегрирование вдоль прямой сводится к сложению элементов массива с определенными порядковыми номерами. Результатом применения прямого преобразования Радона является набор проекций в угле от 0 до 180 градусов.

Существует множество методов нахождения исходного изображения по известным интегралам, отличающихся сложностью вычислений и требованием к числу проекций. В настоящей работе используется метод фильтрованной обратной проекции. Геометрический смысл метода представлен на рис.3 и представляет собой обратное проецирование данных полученных при заданном угле, предварительно отфильтрованных с помощью фильтра вида |w| (фильтр Рама-Лака). Важно отметить, что данный метод применим к проекциям, имеющим не интегральный характер, таким как тень от объекта.

При рассмотрении задачи о нахождении исходного изображения делается предположение о том, что интегралы берутся вдоль прямой, что соответствует распространению излучения вдоль прямой линий. Для длины волны излучения находящейся в рентгеновском диапазоне предположение зачастую оправданно. Так же предположение может соблюдаться и в оптическом диапазоне для объектов определенной конфигурации с дополнительными ограничениями [2]. Для объектов с плоскопараллельными гранями излучение в оптическом диапазоне испытывает преломление на границе (см. рис. 4), приводящее к изменению угла распространения и смещению луча на величину , где  углы падения и преломления, h – ширина объекта. При известных параметрах, таких как длина l, ширина h и показатель преломления n, возможно учесть влияние преломления путем изменения угла распространения в методе обратной проекции и учета смещения координаты луча.

Исследуемый объект показан на рис. 5 и 6 и представляет собой стекло марки K8 шириной h=20мм, длиной l=80мм и показателем преломления n=1.5 . На каждую сторону объекта были нанесены серии точек, а так же на одну из сторон была нанесена буква «Ш». Измерения проводились с использованием теневой установки ИАБ-451[3] в угловом диапазоне α=-55:1:60. Реконструкция осуществлялась методом обратной проекции с модификацией, позволяющей учесть изменения угла распространения и смещение проходящих лучей, а также непрозрачные грани объекта, ограничивающие угловой диапазон. Для оценки действия алгоритма было проведено восстановление без учета показателя преломления.

На рис. 7 и 9 приведены результаты реконструкции томограмм для двух различных плоскостей исследуемого объекта без учета показателя преломления. На рис. 8 и 10 приведены результаты реконструкции томограмм с учетом показателя преломления.

На рис. 11-13 приведены различные виды на 3D модель, собранную из всех послойных томограмм с учетом показателя преломления.

По результатам восстановления была оценена толщина объекта. Оценка по томограмме изображенной на рис. 8 составляет h≈19,98 мм. Толщина объекта, оцененная по томограмме изображенной на рис. 10, составляет h≈19,67 мм. Расстояние между гранями, без учета показателя преломления, приблизительно можно оценить по томограммам изображенным на рис. 7 и рис. 9 как h≈12,73 мм. На рис. 7-10 присутствуют артефакты, связанные с ограниченным угловым диапазоном. Форма артефактов отличатся с учетом и без учета показателя преломления, так для томографии с учетом показателя преломления характерна симметричность артефактов. Несмотря на кажущуюся априорность информации о толщине объекта, результаты оценки позволяют предполагать, что использование метода обратной проекции с учетом показателя преломления позволит уточнить расположение неоднородностей внутри объекта. Отметим также, что мы пренебрегли искажением волнового фронта вне исследуемого образца, считая, что воздух не вносит вклад в наблюдаемую теневую картину. Форма дефекта может быть определена с точностью до артефактов восстановления, зависящих от углового диапазона измерений. В дальнейшем планируется использовать итерационные методы восстановления томограмм, позволяющие уменьшить характерный размер артефактов.

Список литературы

1. Yongjin S., Wonshik C., Christopher F.// Optics Express. 2009. Vol. 17, № 1. P. 266.
2. Gang Y., Mark A.H. // Applied Optics. 2005. Vol. 44, № 20. P. 4265.
3. Васильев Л.А. Теневые методы. – Москва. Наука, 1968, c. 400.