Биологические модели развития популяций

"Научный аспект №6-2024" - Биология

УДК 57

Лесников Олег Ильич – магистрант Костромского государственного университета.

Аннотация: В статье рассматривается математическая модель сообщества, в котором существует динамическое взаимодействие между популяциями хищников и жертв, которое можно описать с использованием моделей популяционной динамики. Одной из таких моделей является модель "хищник-жертва" Модель Лотки — Вольтерры. Данная модель применима для описания различных процессов в биологии, экологии, медицине, в социальных исследованиях, в истории, в радиофизике и других науках.

В настоящем обзоре была рассмотрена задача, содержательной базой которой было следующее: популяции жертв и хищников развиваются со временем независимо от их местоположения на территории. Естественная смертность жертв не учитывается, а скорость роста численности жертв уменьшается в зависимости от численности хищников, при этом темп роста хищников увеличивается пропорционально численности жертв. Хищники всегда остаются голодными, и у них не происходит насыщения.

Ключевые слова: модели популяции, математические методы, математическая экология, "хищник-жертва" Лотки — Вольтерра, двухвидовая борьба в популяциях, биологические популяции.

Введение

Можно утверждать, что модель Ло́тки — Вольтерра́ математически отражает концепцию дарвиновской борьбы за существование, представленную Чарльзом Дарвином в его трудах [1]: «Изучив множество обстоятельств, я пришел к выводу о существовании борьбы за существование. Однажды пришло мне в голову, что при подобных обстоятельствах благоприятные виды продолжили бы развиваться дальше, а неблагоприятные исчезли бы с лица Земли. Вот сейчас у меня и возникла теория, которой следует руководствоваться». (цитирование по [2]).

В последние годы в мире наблюдается возрастающий интерес к вопросам экологии. В науке об экологии применяются математические подходы для разрешения поставленных задач. Начиная с выхода книги То́маса Ро́берта Ма́льтуса "Опыт о законе народонаселения" в 1798 году, история использования математики в экологии имеет значительное значение [3]. В этой книге было впервые ясно представлено, что народонаселение увеличивается со временем в геометрической прогрессии из-за способности бесконечно размножаться.

В дальнейшем разработали модель популяции, где количество особей ограничивалось наличием необходимых ресурсов. В 1838 году Пьер Франсуа Ферхюльст предложил модель, которая описывает динамику природных популяций [4].

Это исследование продемонстрировало, что основываясь на реалистичных биологических предположениях о взаимодействиях внутри одной популяции и взаимодействиях различных популяций, необходимо применить изучение с помощью математических методов и сформулировать заключения о динамике системы, подлежащих экспериментальной проверке. Известным результатом такого исследования стал вывод о потенциальных колебаниях численности в системе, где две популяции взаимодействуют как хищники и жертвы. Этот вывод стал очевидным после того, как был подтвержден в независимых исследованиях австрийского биофизика Альфред Лотка  в своей работе «Элементы физической биологии» (1925) [5] и итальянского математика Вито Вольтерра, который сделал публикацию в 1926 году «Математическая теория борьбы за существование»[6], обосновали систему уравнений, описывающую взаимоотношения в системе хищник - жертва. Указанные выше работы послужили основой для дальнейших экспериментов, которые подтвердили верность полученных учеными результатов.

В конце 1930-х годов математическая экология замедлила свое развитие, однако в 1960-е годы начался новый интенсивный этап в связи с двумя ключевыми факторами. Последствия неблагоприятного влияния человека на окружающую среду привели к осознанию важности предвидения этих последствий. Быстрое развитие компьютерных технологий и успешное их применение в различных областях создали надежды на использование этих технологий в целях решения экологических проблем.

Описание модели «хищник-жертва»

Разработка математических моделей экологических систем позволяет ученым лучше понять взаимодействия между биологическими и неорганическими компонентами природы, а также прогнозировать изменения в окружающей среде под воздействием различных факторов. Моделирование помогает ученым определить оптимальные стратегии управления ресурсами, прогнозировать эффекты изменений климата, оценивать воздействие человеческой деятельности на окружающую среду и многое другое. Поэтому разработка математических моделей экологических систем является важным инструментом для исследования и сохранения природы.

В данном сообществе между популяциями хищников и жертв существует динамическое взаимодействие, которое можно описать с использованием моделей популяционной динамики. Одной из таких моделей является модель "хищник-жертва" Лотки-Вольтерра.

Данная модель предполагает взаимосвязь между популяцией хищников и их добычей. Жертвы растут с определенной скоростью, если на них не воздействует хищник, и убывают со скоростью, пропорциональной численности хищников. Хищники же увеличивают свою число особей в процессе поглощения жертв, но и уменьшаются из-за недостатка пищи при низкой плотности жертв.

Модель Лотки-Вольтерры может показать, как взаимодействие между совокупность хищников и их добычи приводит к колебаниям численности обеих популяций. Она помогает понять, какие факторы могут сдерживают, а какие способствуют росту каждой из популяций.

Таким образом, моделирование борьбы между двумя видами в популяциях позволяет нам лучше понять динамику биологических сообществ и взаимодействие между различными видами в природе.

Рассмотрим взаимодействие между плотоядными и травоядными животными, исходя из предположений: изменения количества популяций обусловлены временными факторами и не зависят от их географического распределения на территории. Не будем учитывать естественную смертность жертв; скорость роста популяции жертв уменьшается пропорционально численности плотоядных животных, а рост числа плотоядных животных увеличивается пропорционально численности травоядных животных. Хищное животное не имеет предела насыщения, поэтому оно всегда испытывает голод.

Необходимо исследовать взаимодействие двух видов живых организмов, которые обитают на одной и той же территории и имеют определенное количество особей в своих популяциях. Предположим, что рост популяции жертв ограничивается действиями хищников, в то время как рост хищников зависит от доступности достаточного количества добычи. Тогда, в отсутствие хищников численность жертв  растёт с коэффициентом прироста , т. е.

 ,- количество жертв в момент времени ,  >0. Присутствие хищника влияет на динамику численности популяции жертв. Около естественного прироста необходимо учитывать убыль численности жертв, вызванную действием хищника, которая зависит от числа встреч между особями обоих видов. Эту убыль можно описать как пропорциональное отношение и может быть выражено численно ,

Где > 0 - коэффициент пропорциональности, который характеризует вымирание жертв после встречи с хищником;

 - численность жертв в момент времени ;

 - численность хищников в момент времени .

Зафиксируем, что количество жертв изменяется в результате их размножения, которое зависит от общего числа жертв с коэффициентом прироста r и смертности, то получим:

Если мы будем рассуждать аналогично, то имеем: численность хищников Ci в отсутствие жертв убывает с естественным коэффициентом смертности , т. е. где  - численность хищников в момент времени ,  >0. Увеличение численности хищных животных пропорционально числу встреч между особями обоих видов и может быть выражено числом , где > 0- коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника, - численность жертв в момент времени  и  - численность хищников в момент времени .  Следовательно, если учесть, что изменения численности хищников зависят от встреч с жертвами и скорости вымирания, которая пропорциональна общей численности хищников с коэффициентом вымирания q, составим математическое уравнение:

Визуально покажем поведение и взаимосвязь животных разных популяций с помощью уравений:

Часть рассматриваемойй задачи решим в среде для работы с электронными таблицами Microsoft Excel (таблица 1).

Таблица 1 – Программная реализация модели «хищник-жертва»

Мы сформировали и заполнили таблицу 1, давайте проиллюстрируем полученные результаты для большей наглядности. в среде Microsoft Excel.

Посмотрим, как влияют значения параметров на решение нашей задачи.

 – Время = 30, 50, 100 и 150 дней;

 - Коэффициент рождаемости = 0,2;

 - Коэффициент пропорциональности, который характеризует вымирание травоядных после встречи с плотоядными = 0,005;

 - Коэффициент пропорциональности, который характеризует потребность в пище = 0.1;

 - Коэффициент смертности = 0,05.

Используем анализ для наблюдения за изменением решения задачи в зависимости от заданной длины отрезка T. Для наглядности проводимых исследований построим графики в программе Excel (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3 и рисунок 4).

Рисунок 1. Зависимость решения от величины отрезка времени Т=30

Как мы видим, на рисунке 1, за рассматриваемый период времени численность хищников снижается, численность жертв в течение 21 дня снижается, а далее постепенно увеличивается.

Рисунок 2. Зависимость решения от величины отрезка времени Т=50

Изображение на графике показывает, что за рассматриваемый период времени численность хищников снижается на протяжении всего периода. Численность жертв в течение 21 дня имеет тенденцию к снижению, а потом постепенно возвращается к исходному значению.

Рисунок 3. Зависимость решения от величины отрезка времени Т=100

Информация, представленная на графике, указывает на то, что снижение численности хищников приводит к увеличению численности жертв и наоборот увеличение численности хищников приводит к закономерному снижению численности жертв.

Рисунок 4. Зависимость решения от величины отрезка времени Т=150

Данные, представленные на графике, говорят нам о том, что численность хищников имеет скачкообразную динамику и в каждый момент снижения показателя численности волков численность зайцев увеличивается с каждым скачком все больше.

Изменения в численности одного вида оказывают влияние на популяционную плотность других видов, что приводит к циклическим колебаниям. В моменты, когда число особей хищников высока, они охотятся на жертв, что приводит к снижению численности жертв. Это в свою очередь вызывает снижение численности хищников, что позволяет популяции жертв восстановиться, и цикл повторяется.

Изучение взаимодействия между жертвами и хищниками в экосистеме действительно представляет важный аспект экологических исследований. Перекосы в численности как жертв, так и хищников могут иметь серьезные последствия в экосистеме. Например, избыточное количество жертв может привести к деградации растительности, в то время как недостаток жертв может угрожать выживанию хищников. Такие исследования помогают лучше понять динамику популяций и прогнозировать возможные изменения в экосистеме.

Список литературы

1. Ch. Darvin. Autobiography. 1958. C. 120.
2. Браун Джанет. Чарльз Дарвин. Происхождение видов / Сер. «10 книг, изме-нивших мир». М.: АСТ: аст., 2009. 220 с.
3. Malthus T.R. An assay on the principle of population, as it affects the future improvement of society. 1798.
4. Verhulst, P. F., (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique, 10, 113—121.
5. Lotka 1. Elements of Physical Biology. Baltimore, 1925. Reprinted by Dover in 1956 as Elements of Mathematical Biology.Ццц
6. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с франц. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. 288 с.