УДК 514.116

Проблемы учащихся при решении тригонометрических уравнений в рамках подготовки к ЕГЭ

Щецяк Валерия Алексеевна – студент Уфимского государственного нефтяного технического университета.

Аннотация: Цель исследования – определить особенности тригонометрических уравнений, встречающихся во второй части ЕГЭ по профильной математике. В статье рассматриваются вопросы проблем, возникающих по мере поиска верного решения задачи в сравнительном аспекте. Основное внимание уделяется выявлению общих и специфических ошибок в структуре исследования корней уравнения. Научная новизна заключается в изучении четырёх подходов к решению единого типа задания. В результате выявлен единый алгоритм качественной подготовки к экзамену, включающий в себя различные методы решения тригонометрической задачи.

Ключевые слова: тригонометрическое уравнение, ЕГЭ, подготовка к экзамену.

В данном исследовании предпринята попытка формирования алгоритма подготовки школьника к решению тригонометрических уравнений из второй части ЕГЭ. Исследование основано на аналитических данных о проценте выполнения заданий КИМ на 2022 год согласно положению ФИПИ и РЦОИ по РБ. Объектом исследования является задача № 12 из типовых экзаменационных заданий. Результатом исследования является выявление методики качественной подготовки к решению данного типа задания.

В первом пункте задачи № 12 необходимо решить тригонометрическое уравнение. Второй пункт заключается в отборе корней, полученных в результате верного решения исходного уравнения, вписывающихся в отрезок на тригонометрической окружности. По данным ФИПИ всего 44,4% учащихся по РФ на 2022 год смогли полностью решить уравнение и верно отобрать корни. В источнике данную проблему аргументируют тем, что пятая часть участников экзамена, верно решивших уравнение, ошибается в отборе корней [4]. Из данного высказывания следует вывод о том, что часть учащихся даже после верного нахождения корней уравнения, не может привести обоснованное решение второй части задания. Притом способ отбора может быть любым: математически корректными и обоснованными являются решения как с помощью окружности, так и по средству прямой или неравенства. Но в каждом из этих способов должны быть указаны ключевые элементы решения. Это свидетельствует о том, что школьники недостаточно осведомлены о способах решения данной задачи. В ходе исследования, мною был сделан вывод о том, что компонентами эффективной подготовки к решению тригонометрического уравнения являются прежде всего наличие учебно-методического обеспечения учащегося, а также регулярная практика в решении типовых задач разными способами.

Для решения тригонометрического уравнения существует несколько методик: разложение на множители многочлена, введение новой переменной (метод подстановки), умножение или деление обеих частей равенства на выражение, применение формул приведения, использование тригонометрических формул (к примеру, формулы понижения степени), а также формулы сокращенного умножения. Анализируя ошибки, возникающие при отборе корней на данном в условии второй части задания отрезке, приходим к выводу, что следствием возникновения ошибки при решении уравнения является неверно решенная вторая часть задания. Данная проблема часто встречается в решениях с использованием способа разложения на множители выражения и способа с умножением или делением обеих частей равенства на какое-либо выражение. В таком случае может быть нарушено тождество левой и правой части уравнения. Как следствие, появление лишних корней, реже, потеря корней. Чтобы избежать данной ошибки, необходимо найти все возможные корни, а затем проверить исходное уравнение для каждого из возможных ответов, и исключить те, для которых оно не имеет смысла. Например, после разложения на множители выражения и приравнивания одного сомножителя к нулю, необходимо указать, что второй сомножитель при этом не будет обращен в бесконечность.

Выделяют четыре способа отбора корней на отрезке числовой окружности: арифметический, алгебраический, геометрический и функционально-графический. Последний способ используется крайне редко ввиду необходимости построения графиков для тригонометрических функций. Арифметический способ требует подстановки корней в уравнение и в данные в задаче ограничения. Геометрический способ имеет преимущество перед другими, так как требует минимального количества вычислений, однако, в случае неверного изображения тригонометрической окружности, есть риск ошибиться в выборе корней. Числовую окружность можно смоделировать и интерпретировать как окружность, вокруг которой оборачивается координатная прямая. С каждым оборотом, к воображаемой точке, взятой на окружности, прибавляется 2π. Или же, если отрезок на окружности дан по условию отрицательный, вычитается 2π.

К проблемам, касающимся неверного отбора корней, можно отнести и малую осведомленность учащихся о поиске корней на числовой окружности, в том числе и неумение геометрически проиллюстрировать решение уравнений. Стоит учесть и то, что у каждого обучающегося индивидуальная скорость усваивания информации, также каждый школьник самостоятельно выбирает более предпочтительный ему способ решения задач.

Таким образом, в результате исследования мы можем представить следующий примерный план эффективного решения тригонометрической задачи № 12 из ЕГЭ:

1. Внимательно прочитать условие первой части задания;
2. Определить какие преобразования необходимо произвести для упрощения уравнения;
3. При необходимости выписать тригонометрические формулы, подходящие для решения;
4. Найти все корни уравнения;
5. Внимательно прочитать условие второй части задания;
6. Выбрать наиболее комфортный способ отбора корней уравнения;
7. Определить корни, удовлетворяющие отрезку, данному во второй части задания.

Разберём задание типа № 12 из официального банка ФИПИ с использованием данного алгоритма решения.

Дайте развернутый ответ.

а) Решите уравнение

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [;].

Решение:

1. ,
   
2. 

3. Арифметический способ отбора корней, принадлежащих отрезку:

При  корни уравнения не подойдут под, так как отрезок

При n = –1

При n = –2

При n = –3

При n = –4

При n = –1

При n = –2

При n = –3

При n = –1

При n = –2

При n = –3

4. Мы получили ответ  во второй части задания.

Список литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Издательство АСТ, 1966. – 509 с.
2. Егерев В.К. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; – М.: Издательство Оникс: Издательство «Мир и образование», 2013. – 608 с.
3. Корянов А.Г. Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней / А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. – М.: Издательство Легион, 2014. – 144 с.
4. Ященко И.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по математике / И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, А.В. Семенов. – М.: Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений», 2022. – 35 с.