УДК 37.016:51

Систематизация видов задач на стереометрические углы как важный фактор качественного изучения темы «Многогранники»

Оболдина Татьяна Александровна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры Физико-математического и информационно-технологического образования Шадринского государственного педагогического университета.

Аннотация: В статье рассматривается вопрос о необходимости систематизации видов углов в стереометрии перед изучением темы «Многогранники». Цель исследования показать, что работа по систематизации видов задач на стереометрические углы перед изучением обозначенной темы повышает качество её усвоения. В статье рассмотрены важность темы «Многогранники», её связь с другими разделами математики, дана классификация задач относительно видов углов в стереометрии.

Ключевые слова: стереометрия, многогранники, углы в стереометрии, систематизация видов углов, изучение темы «Многогранники».

Обучение школьным предметам, без исключения, призвано развивать познавательные и творческие способности каждого учащегося, его интеллект и культуру. Большими возможностями в этом плане обладает стереометрия, в частности, тема «Многогранники».

Как отмечал С. М. Саакян [1], центральная роль многогранников определяется, прежде всего, тем, что многие факты и результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников.

Понятие многогранника дается на описательном уровне уже в 5–6-х классах. В старших классах при изучении стереометрии многогранники с самого начала незаменимы при демонстрации взаимного расположения прямых и плоскостей, применения признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

Решение задач по рассматриваемой теме чаще всего сводится к решению планиметрических задач, ссылаясь на ранее изученные факты. При решении стереометрических задач ещё в большей мере, чем в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии, применяются векторный и координатный методы и интегрирование. Связь темы «Многогранники» с другими разделами школьного курса математики представлена на схеме 1.

1

Схема 1. Связь темы «Многогранники» с другими разделами школьного курса Математики.

Следовательно, для изучения многогранников и решения задач на данную тему учащиеся должны иметь большой объем знаний и умений, относящийся к видам многогранников, а также большое количество формул для вычисления площади поверхности и объема многогранника.

Кроме того, перед изучением данной темы учащиеся четко должны знать, как измеряются углы в пространстве. Продемонстрировать это можно, например, с помощью таблицы 1.

Таблица 1. Измерение углов в пространстве.

Виды углов

Как измеряется

1

Между скрещивающимися прямыми

Обе прямые (или одну из них) переносят в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. Между полученными пересекающимися прямыми найти наименьший из углов.

2

Между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В качестве угла между прямой и плоскостью выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Тогда угол между прямой и плоскостью равен 90°.

3

Двугранный угол

Градусной мерой двугранного угла является градусная мера его линейного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

4

Трехгранный угол

Характеризуется тремя двугранными углами и тремя плоскими углами.

Задачи по стереометрии — прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики [2].

Как показано выше, углы – важный элемент многогранника, часто используемый в задачах на многогранники, поэтому целесообразно проводить методически продуманную работу по повторению и систематизации видов стереометрических углов перед изучением темы «Многогранники».

Различные виды углов изучаются с перерывами во времени, что затрудняет систематизацию этого вопроса. Тогда очевидно, что перед изучением темы «Многогранники» важно привести в единую систему все изученные ранее виды углов, например с помощью таблицы 1. Измерение углов в пространстве.

Но этого недостаточно. Необходимо применить эти знания в решении стереометрических задач.

В зависимости от уровня знаний учащихся об углах, не обязательно использовать задачи всех видов.

Представим виды задач, которые можно использовать для подготовительной работы к теме «Многогранники». Все задачи условно разделены на 4 вида:

  • на отыскание углов на моделях;
  • на изображение;
  • определение величины угла;
  • на доказательство.

По каждому из четырех видов стереометрических углов (угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, трехгранный угол) получили четыре вида задач, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2. Виды задач на стереометрические углы.

Задачи

Углы

А

между скрещивающимися

В

между прямой и плоскостью

С

двугранный угол

D трехгранный угол

1

Отыскание углов на моделях геометрических тел

A1

B1

C1

D1

2

На изображение

A2

B2

C2

D2

3

Определение величины

А3

В3

С3

D3

4

На доказательство

А4

В4

С4

D4

Таким образом, получили комплекс задач на стереометрические углы, в котором 16 видов задач. Каждому виду задач присвоили свой индекс (таблица 2). Поскольку углы различного вида являются элементами многогранников, то представляется, что более тщательное и продуманное изучение стереометрических углов с использованием данной классификации задач поможет более качественному усвоению учащимся темы «Многогранники».

Список литературы

  1. Саакян, С. М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса [Текст] / С. М. Саакян // Математика в школе. – 2009. - № 2. Текст : непосредственный.
  2. Готман, Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения [Текст] / Э. Г. Готман [и др.]. - М.:МЦНМО, 2006. – 324 с. Текст : непосредственный.

Интересная статья? Поделись ей с другими: