УДК 37. 016:51

Некоторые вопросы изучения содержательно-методической линии скалярных величин

Оболдина Татьяна Александровна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры Физико-математического и информационно-технологического образования Шадринского государственного педагогического университета.

Аннотация: Автор статьи обращается к вопросу изучения содержательно-методической линии скалярных величин. Целью исследования является выявление методических особенностей обучения учащихся скалярным величинам. В статье рассмотрены этапы изучения в школьной геометрии понятия «величина».

Ключевые слова: школьный курс геометрии, величина, скалярная величина, этапы изучения понятия величина.

Величина определяется как свойство объектов или явлений реально существующих в действительности или их макетов. Данное понятие позволяет увидеть зависимости между величинами, которые дают возможность целостного представления об окружающей действительности.

Единого определения рассматриваемого понятия нет. Из множества определений представим определение величины, данное А. Н. Колмогоровым, которое, на наш взгляд, наиболее приемлимо для современной школьной математики:

 Непустое множество S={a, b, c, …} будет системой скалярных величин, если справедливы следующие аксиомы:

  1. Если Ɐ a,b ∈ S, то имеет место только одно из следующих соотношений: a<b или a=b, или a>b.
  2. Ɐ a,b ∈ S, если a<b и b<c, то a<c.
  3. Ɐ a,b ∈ S, c=a+b, где с ∈ S .
  4. Ɐ a,b ∈ S, a+b=b+a.
  5. Ɐ a,b ∈ S, a+(b+c)=(a+b)+c.
  6. Если a<a’, то a+b<a’+b при любом b S.
  7. Ɐ а,b,с S существует одна и только одна величина с=a+b, для которой a=c–b.
  8. Каковы бы ни были а ∈ S и натуральные n, существует такое b∈ S, что a=n·b.
  9. Если b>0, то для любого а ∈ S существует такое натуральное n, что a<nb.
  10. Если a0≤ a1≤ a2≤…≤ an ≤…< b, то среди величин, не меньших любой из величин an существует наименьшая a=sup an [2].

С точки зрения методики, следует понимать, что рассматриваемое понятие изучается в школьном курсе математики в течение нескольких лет, при этом его изучение можно условно представить тремя этапами.

Первый этап – пропедевтический, где формируется представление о величинах и их практическом измерении на интуитивном уровне. Учащиеся начальных классов знакомятся с единицами измерения массы, длин, площадей, объемов, получая при этом определённые навыки практического их измерения. В процессе этого необходимо уделить внимание тому факту, что общей особенностью изученных величин является то, что для каждой из них существуют отношения равенства и неравенства, которые устанавливаются практическим путем, и для каждой по-своему. Величины можно измерять, но для каждой из них есть свой способ измерения, основанный на том, что есть некоторая единица, с которой и необходимо сравнивать. Величины одного рода можно складывать (разного – нельзя), причем сложение можно осуществлять непосредственно (влить в сосуд с двумя литрами воды еще три литра и измерить общее количество), а можно и сложить два числа – результат будет один и тот же.

Второй этап является этапом изучения методов косвенного измерения величин (длин, площадей, объёмов геометрических фигур и т. д.). Учащиеся 5-9 классов получают знания и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса, позволяющие от измерения величин перейти к непосредственному их вычислению. В результате чего возникают возможности пропедевтики строгого введения понятия величины и ее измерения. Учащиеся должны строго понимать, чтобы измерить величину необходимо сравнить ее с другой, однородной ей величиной, принятой за единицу измерения. А процесс измерения предложенной величины всегда состоит из двух этапов:

  1. Выбирают (если она не предложена в условии задачи) необходимую единицу измерения (е).
  2. Выполняют измерения объекта – сравнивают данную величину с выбранной единицей измерения.

В процессе измерения величины определяют число (х), являющееся числовым значением исходной величины (а) при единице измерения е:

А=х·е, где х – число.

Следует обратить особое внимание при измерении геометрических величин и научить учащихся четко различать саму геометрическую фигуру, величину, характеризующую эту фигуру, и найденное числовое значение этой величины. Так, например, необходимо различать длину отрезка от числового значения длины. Первое (расстояние между точками – концами отрезка) остается неизменным, второе – зависит от выбранной единицы измерения (длина отрезка может быть равна, например 5 см, или 50 мм, или 0,5 м и иметь, при этом, отличные числовые значения: 5; 50; 0,5).

Отметим свойства величин, используемые в процессе их измерения, если используется одна и та же единица измерения:

  • равным величинам соответствуют равные числовые значения;
  • числовое значение суммы величин равно сумме числовых значений слагаемых величин.

Практика показывает, что при измерении объектов не всегда удается выразить эту характеристику натуральным числом. Тогда, измерение величин выполняют, используя понятие доли единицы. А именно, если исследуемую величину нельзя измерить выбранной единицей измерения, то она измеряется долей этой единицы; если и в этом случае нельзя установить значение величины, эту долю делят на новые доли и т. д. Измерение величин является своеобразным источником возникновения дробных чисел.

Третий этап – заключительный, где рассматриваются при измерении площадей поверхностей и объемов тел определения данных понятий и общие методы их вычислений. На данном этапе (скорее всего в профильных классах) целесообразно представить учащимся аксиоматическое определение системы аддитивно-скалярных неотрицательных величин, а именно, что положительными скалярными величинами являются элементы любого непустого множества S={a, b, c, …}, где сложение определено как алгебраическая операция и при этом имеет место соотношение сравнения. При этом справедливы аксиомы:

  1. Ɐa ∈S, Ɐb ∈ S; (a < b) ∨ (a = b) ∨ (b < a) – свойство сравнимости. Причем свойство «равно» обладает тремя известными свойствами (рефлексивность, симметричность, транзитивность), а соотношение «меньше» обладает свойством транзитивности.
  2. Ɐa ∈S, Ɐb ∈ S c = a + b – существование суммы величин; здесь величина c ∈ S и определена на множестве S2 (декартовом квадрате множества S).
  3. Сложение величин имеет свойства:
  • a + b = b + a (коммутативность);
  • a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность);
  • a < a + b и b < a + b (монотонность).
  1. Если a ≥b, то существует одна и только одна величина с такая, что b + c = a – существование разности величин.
  2. image001 – возможность неограниченного деления величины на доли.
  3. Каковы бы ни были элементы a и b системы S, существует такое натуральное число n, что nb>a, т. е. Ɐa ∈S, Ɐb ∈ S n N/a ≤ nb – аксиома Архимеда. Это свойство определяет возможность измерения величин.
  4. Если дана неубывающая последовательность скалярных величин: a0≤ a1≤ a2≤…≤ an ≤…< b, то среди величин, не меньших an, существует наименьшая величина a=sup anаксиома непрерывности [1].

Анализ школьной практики показывает, что к изучению всех скалярных величин осуществляется единый подход:

  1. Формулируются аксиомы измерения величин для каждого вида величины, которые иногда представлены как свойства величин. В учебнике А. В. Погорелова, например: аксиомы – каждый отрезок имеет длину, длина число положительное, равные отрезки имеют равную длину, если разбить отрезок на части, то его длина равна сумме длин его частей. Эта аксиома формулируется и для других величин.
  2. Четкого определения скалярных величин не дается, эти понятия определяются косвенно через аксиомы. Так, например, в учебнике Л. С. Атанасяна эти предложения представлены как свойства, которые рассматриваются при изучении конкретных жизненных ситуаций.

Несмотря на единый подход к изучению скалярных величин в школьной математике, необходимо учитывать этапы формирования понятий данного рода, как важную составляющую содержательно-методической линии скалярных величин.

Список литературы

  1. Бескин, Л. Н. Стереометрия: кн. для учителя / Л. Н. Бескин. – М. : Просвещение, 1960. – Текст : непосредственный.
  2. Блох, А. Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. инстит. по физ-мат. специальностям / А. Я. Блох [и др.] ; сост. В. И. Мишин. – М. : Просвещение, 1987. – 416 с. – Текст : непосредственный.

Интересная статья? Поделись ей с другими: