УДК 53

Методика учета трения при использовании метода Шварца решения контактных задач

Яковлев Максим Евгеньевич – кандидат технических наук, доцент кафедры ФН-2 Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана.

Аннотация: В работе рассматриваются особенности учета трения при численном моделировании контактного взаимодействия двухмерных упругих тел на основе альтернирующего метода Шварца. Трение учитывается в соответствии с законом Амонтона-Кулона. Алгоритм применен при моделировании контактного взаимодействия двух упругих пластин.

Ключевые слова: контактное взаимодействие упругих тел, метод конечных элементов, итерационное решение, закон Амонтона-Кулона, метод Шварца.

Методы математического моделирования являются эффективным средством исследования сложных процессов деформирования, в том числе с учетом контактного взаимодействия. Их применение обеспечивает интенсивное развитие механики деформируемого твердого тела, прикладных методов численного анализа и других предметных областей, а потому представляет собой одну из актуальных проблем прикладной математики [1].

Анализ состояния ответственных элементов конструкций и оценка их ресурса требует решения ряда задач, математические постановки которых учитывают сложные физико-механические эффекты, возникающие при термосиловом нагружении. Среди недостаточно разработанных, но перспективных методов решения подобных задач механики можно выделить так называемый альтернирующий метод Шварца.

Метод подробно описан во многих работах, в т.ч. в [2-4]. Здесь приведем только постановку задачи. Рассмотрим два изотропных, однородных линейно-упругих тела A и B, занимающих в евклидовом пространстве области и . Тела находятся в состоянии контактного взаимодействия с поверхностью контакта (Рис. 1). Границы областей и будем считать кусочно-гладкими. В пространстве введем прямоугольную декартову систему координат [2]. К телам могут быть приложены распределенные нагрузки и , а на некоторых границах заданы кинематические условия.

Рисунок 1. Общая схема.

Трение между контактными поверхностями и соответственно тел и может быть описано по закону Амонтона–Кулона, согласно которому в каждой точке контактных поверхностей

(1)

где – коэффициент трения; и – проекции вектора силы, приложенной к точке контактной поверхности, на касательную и нормаль к этой поверхности в этой точке.

При дискретизации закон (1) в каждом контактном узле принимает вид

(2)

где и – соответственно проекции вектора силы на внешнюю нормаль и касательную в узле m. Очевидно, в общем случае в силу дискретности модели нормаль и касательная в узле не определены. Можно использовать некоторым образом усредненные между соседними гранями величины, однако проще заменить их нормалью и касательной в сходственной точке , лежащей на грани контактной поверхности тела , и (Рис. 2).

Рисунок 2. Геометрия конечных элементов в контактной зоне.

Векторы касательной и нормали находятся по формулам

(3)

где – длина отрезка ij (Рис. 2).

Тогда и величины и в узле , , принимают вид

(4)

а компоненты и вектора перемещения узла , , имеют вид

(5)

Если для некоторого узла m (без ограничения общности тела А) выполнено строгое неравенство

(6)

то узел совмещен в пространстве со сходственной точкой , лежащей на поверхности контакта тела , и выполняется равенство

, (7)

где – проекция вектора перемещения точки на касательную (Рис. 2, , ).

Рисунок 3. Локальная координата точки .

Рассмотрим отрезок ij, лежащий на контактной поверхности тела . Для лежащей на нем точки s определена соответствующая ей локальная координата

, (8)

где – длина отрезка is, – длина отрезка ij (Рис. 3). Тогда проекции и вектора перемещения этой точки на координатные оси и соответственно могут быть вычислены по формулам

(9)

где ; ; , , и – проекции векторов перемещения узлов и на координатные оси и .

Из соотношения (9) следует равенство

(10)

Нарушение неравенства (6) означает взаимное проскальзывание тел А и B. В этом случае в тех узлах, где нарушается неравенство, должна быть ограничена проекция силы на касательную в сходственной точке. В каждом таком узле m, , , касательная составляющая силы находится по формуле

. (11)

Поскольку формулы (10) и (11) дают проекции векторов не на координатные оси, после их использования к ним применяются обратные преобразования

(12)

(13)

В первом шаге во всех узлах , , обеих поверхностей контакта считается выполненным соотношение (6). В соответствии с алгоритмом [3] производится усреднение усилий и проверяется неравенство (6). В тех узлах, где оно не выполняется, наблюдается взаимное проскальзывание и используется формула (11). Проекции векторов сил и перемещений на нормаль в каждом узле не зависят явным образом от трения и корректируются стандартным образом по методу Шварца. Вычислительные эксперименты показывают, что учет трения описанным образом не сказывается на сходимости итерационного алгоритма.

В качестве иллюстрации описанного алгоритма приведем пример решения задачи о контакте двух прямоугольных пластин (рис. 4)

Рисунок 4. Расчетная схема.

На рис. 5 приведено поле компоненты тензора напряжений при отсутствии трения (т.е. без усреднения касательных сил), на рис. 6 аналогичное поле при учете трения. Легко видеть, что распределение этой компоненты существенно зависит от наличия трения и пренебречь им невозможно. Кроме того, максимальные напряжения при наличии трения выше почти в два раза. В то же время стоит отметить, что компонента от трения зависит незначительно, и общая интенсивность напряжений при учете трения увеличивается примерно на 10%.

Рисунок 5. Напряжение без трения.

Рисунок 6. Напряжение с трением.

Выводы. Разработан и программно реализован алгоритм учета трения при решении контактных задач на основе метода Шварца. Рассмотрен эффект трения при контакте двух пластин.

Список литературы

Wriggers P. Computational contact Mechanics. Hanover: Springer, 2002. 441 p.
Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Приложение методов теории пластичности и ползучести к решению инженерных задач машиностроения: В 2 т. Т. 2: Методы и алгоритмы решения краевых задач. – К.: Вища школа, 1991. – 287 с.
Яковлев М.Е. Математическое моделирование контактного взаимодействия термовязкоупругопластических сред : Дис. ... канд. тех. наук. М. 2014. 131 с.
Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел. // Прикл. Мех. – 1980 – т. 16, Ш I – С. 13-18.