УДК 37.013

Некоторые примеры задач на поиск спектра линейного оператора в различных функциональных пространствах

Яковлев Максим Евгеньевич – кандидат технических наук, доцент кафедры ФН-2 Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана.

Аннотация: В настоящей работе рассматриваются примеры задач на поиск спектра линейных операторов, заданных на банаховых функциональных пространствах, для студентов технических вузов. Подобраны операторы, требующие для определения типов спектра специфического анализа, редко встречающегося в типовых обучающих задачах на другие темы.

Ключевые слова: Спектр линейного оператора, банахово пространство, разрывный функционал, примеры задач.

Существование единственного решения – один из главных предметов анализа любой задачи. Решение многих задач может быть сведено к нахождению соответствующего резольвентного оператора [2], а вопрос о его существовании – это вопрос нахождения спектра некоторого, часто линейного оператора. Как следствие, при изучении курса функционального анализа студенту необходимо научиться решать задачи на нахождение спектра линейного оператора.

Данная статья может рассматриваться как продолжение статьи [8], в которой рассматривается поиск спектра линейного оператора в пространстве непрерывных функций на основании определения спектра. Набор примеров, рассмотренных в предыдущей статье, требует расширения, так как некоторые доказательства из нее не допускают обобщения на аналогичные примеры. В данной статье рассматриваются некоторые из этих примеров.

Изучение статьи облегчает освоение темы как для студентов, так и для начинающих преподавателей.

Пример 1. Найти спектр линейного оператора , действующего по правилу. Здесь – пространство функций, непрерывных на отрезке

1. Найдем собственные числа оператора А по определению. Для этого решим уравнение :

(1)

Подставим в это выражение  и получим

(2)

Если  то , следовательно, и во всех точках отрезка , , кроме, быть может, точки , если . Значит, в силу непрерывности , т.е.  и  не являются собственными.

Если же , то  может принимать любое значение С. Тогда  и . В данном случае этот элемент является собственным вектором и – собственное число.

2. Решим уравнение  при :

. (3)

Подставим в это выражение  и получим

. (4)

Следовательно

. (5)

Подставим значение , полученное из (5), в уравнение (3):

, (6)

тогда

 . (7)

При  полученная функция непрерывна при . Кроме того, значение  получится одинаковым из выражений (5) и (7). Поэтому ,  являются регулярными значениями оператора А.

Пусть . Подставим  в уравнение (6):

(8)

Условие (8) является необходимым (но не достаточным) условием существования решения уравнения (3), поэтому область определения Y резольвенты  является подмножеством множества

. (9)

Множество  можно рассматривать в качестве ядра  линейного ограниченного функционала , определенного на всем пространстве ; следовательно, оно замкнуто и может быть всюду плотным в пространстве  только в случае, если совпадает с ним, т.е. функционал  является нулевым. Это условие не выполняется при , поэтому множество  не является всюду плотным в пространстве , и точки  принадлежат остаточному спектру.

В случае  функционал  является нулевым, поэтому условие (8) выполняется для . Уравнение (6) принимает вид

. (10)

Тогда для  можно получить

(11)

а при выполняется выражение (5) в виде . Таким образом, единственным решением уравнения (3) при  является функция

(12)

которая в общем случае не является непрерывной в нуле, т.е. не является решением операторного уравнения . Определение непрерывности функции в нуле запишем в виде , т.е. с учетом выражения (12)

. (13)

Здесь у многих студентов возникает естественное желание продолжить равенство в виде

,

однако это не вполне верно: из существования конечного предела  не следует существование .

В дальнейшем обозначение односторонней производной опустим. Таким образом, область определения Y резольвенты  записывается в виде

. (14)

Это множество можно рассматривать в качестве ядра  линейного неограниченного функционала

, (15)

определенного на линейном многообразии D непрерывных функций, для которых этот предел существует. Если существует , то существует и , поэтому множество L непрерывно дифференцируемых на отрезке  функций содержится во множестве D. Множество L, в свою очередь, содержит множество всех многочленов, заданных на отрезке , которое всюду плотно в  по теореме Вейерштрасса [2]. Поэтому множества L и D тоже всюду плотны в .

Докажем, что функционал (15) является разрывным. Рассмотрим множество функций ,  Для них . Последовательность  неограниченна, хотя  Значит, линейный функционал (15) является разрывным, следовательно, неограниченным [3]. Так как ядро линейного разрывного функционала всюду плотно в его области определения [5], множество Y всюду плотно в , т.е.  – точка непрерывного спектра.

Таким образом, спектр оператора А состоит из остаточного спектра непрерывного спектра  и точечного спектра , которому соответствуют собственные векторы .

Пример 2. Найти спектр линейного оператора , действующего по правилу. Здесь – пространство функций, непрерывных на отрезке

1. Решим уравнение . Аналогично решению примера 1, если  то  и  не являются собственными. Если же , то  может принимать любое значение С. Тогда . В данном случае этот элемент является собственным вектором и – собственное число.

2. Решим уравнение  при :

. (16)

Подставим в это выражение  и получим

. (17)

Следовательно

. (18)

Подставим значение , полученное из (18), в уравнение (16):

, (19)

тогда

 . (20)

При  полученная функция непрерывна при . Кроме того, значение  получится одинаковым из выражений (18) и (20). Поэтому ,  являются регулярными значениями оператора А.

Пусть . Подставим  в уравнение (19):

(21)

Условие (21) является необходимым (но не достаточным) условием существования решения уравнения (16), поэтому область определения Y резольвенты  является подмножеством множества

. (22)

Аналогично предыдущему примеру точки  принадлежат остаточному спектру, а точка  требует отдельного рассмотрения. Уравнение (19) в этом случае принимает вид

. (23)

Тогда для  можно получить

(24)

а при выполняется выражение (18) в виде . Таким образом, единственным решением уравнения (16) при  является функция

(25)

которая в общем случае не является непрерывной в нуле, т.е. не является решением операторного уравнения . Определение непрерывности функции в нуле запишем в виде , т.е. с учетом выражения (25) и определения производной справа

. (26)

Таким образом, область определения Y резольвенты  записывается в виде

. (27)

Это множество можно рассматривать в качестве ядра  линейного неограниченного функционала

, (28)

определенного на линейном многообразии D непрерывных функций, для которых этот предел существует.

Докажем, что функционал (28) является разрывным. Рассмотрим множество функций ,  Для них . Последовательность  неограниченна, хотя  Значит, линейный функционал (28) является разрывным, следовательно, неограниченным.

Замечание. Также можно рассмотреть, аналогично предыдущему примеру, .

Докажем, что множество D всюду плотно в пространстве . Множеству D принадлежит любая функция, постоянная в некоторой окрестности нуля. Выберем любое число  и любой многочлен. Так как всякий многочлен имеет конечное число локальных экстремумов, для некоторого числа  многочлен  является монотонным на отрезке . Рассмотрим последовательность функций

  (29)

где . В силу монотонности  имеем

(30)

в силу непрерывности . Значит, для любого многочлена  найдется функция , такая, что  В силу теоремы Вейерштрасса [4] для любой функции  найдется многочлен , такой, что  Следовательно, для любой функции  найдется функция , такая, что , что требовалось доказать.

Так как ядро линейного разрывного функционала всюду плотно в его области определения, которая всюду плотна в , множество Y всюду плотно в , т.е.  – точка непрерывного спектра.

Таким образом, спектр оператора А состоит из остаточного спектра непрерывного спектра  и точечного спектра , которому соответствуют собственные векторы .

Замечание. Описанное доказательство может быть использовано и в предыдущем примере, однако оно заметно более сложно, и начинать знакомство с достаточно трудной для понимания темой спектра с него не рекомендуется.

Пример 3. Найти спектр линейного оператора , действующего по правилу

Здесь – пополнение пространства функций, абсолютно интегрируемых на отрезке .

1. Решим уравнение :

(31)

Следовательно,  почти всюду (кроме, возможно, одной или двух точек), т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства, и собственных чисел нет.

2. Решим уравнение :

(32)

(33)

При  выражение  не обращается в ноль, поэтому полученная функция  при . Поэтому  являются регулярными значениями оператора А.

Пусть . Область определения Y резольвенты  имеет вид

. (34)

Это множество не совпадает с , например,

Без ограничения общности рассмотрим  Докажем, что множество

(35)

всюду плотно в . Выберем любую функцию . Рассмотрим последовательность функций

(36)

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега [6] имеем

(37)

так как мера  стремится к нулю. Значит, функция , т.е. , и  – точка непрерывного спектра.

Таким образом, оператор А имеет только непрерывный спектр .

Заключение. Кроме определения и классификации спектра линейного оператора необходимо рассмотреть большое число примеров его нахождения. В работе рассмотрены несколько задач и примеры подробного оформления их решения.

Список литературы

  1. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 700 с.
  2. Власова Е.А., Марчевский И.К. Элементы функционального анализа: Учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2015. – 400 с.
  3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 7-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 572 с.
  4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Изд-во «Наука», 1965. – 520 с.
  5. Некоторые примеры задач на поиск спектра линейного оператора в пространстве непрерывных функций // Сolloquium-journal. 2019. №14-3 (38). С.15-20.
  6. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во МАИ, 1996. – 744 с.

Интересная статья? Поделись ей с другими:

Внимание, откроется в новом окне. PDFПечатьE-mail