УДК 531.1

Об особенностях определения характера и вида движения точки при различных случаях задания eе движения

Подобед Станислав Александрович – старший преподаватель кафедры Горного дела Политехнического института (филиала) Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова в г. Мирном.

Аннотация: Данная статья призвана, рассмотрев причинно-следственные связи наличия особенностей определения характера и вида движения точки, количественные показатели механического движения с одной стороны (скорости и ускорения точки) и качественные показатели движения точки с другой стороны (характер и вид движения точки) для каждого случая задания движения, выявить различия в определении характера и вида движения точки в зависимости от способов задания ее движения и причины их возникновения.

Ключевые слова: Кинематика точки, способы задания движения точки, кинематические характеристики, характер движения точки, вид движения точки.

Введение

Приобретение прочных знаний по теоретической механике, в частности, по кинематике точки, становится возможным только при глубоком изучении теории и решении задач. В большинстве задач по кинематике точки требуется определить характер движения точки (замедленное, равномерное, ускоренное) и вид движения точки (прямолинейное или криволинейное). Движение точки может быть задано координатным, векторным и естественным способами. Каждому из них соответствует свой вид уравнений и по ним можно определить все кинематические характеристики движения точки. Векторные условия, определяющие характер и вид движения точки, одинаковы для всех случаев задания движения, а вот аналитические условия разные: для координатного и векторного задания движения точки одни, а для естественного задания движения точки другие.

Цель исследования: выявить особенности определения характера и вида движения точки при различных случаях ее задания и причины их возникновения.

Материалы и методы исследования

В данной статье применены общеизвестные методы научного исследования: диалектический метод, абстрагирование, конкретизация, анализ, синтез, математические методы, классификация.

Результаты исследования и их обсуждение

Механическому движению точки, как и любому предмету присущи количественные (скорости, ускорения) и качественные определенности (характер и вид движения). Кинематические уравнения движения точки определяют способ задания движения и алгоритм вычисления скоростей и ускорений точки.

Естественный способ задания движения. При этом способе задания движения задаются: закон движения точки по указанной траектории , начало отсчета и положительное направление отсчета дуговой координаты по ее возрастанию. Вектор касательного ускорения  равен произведению единичного вектора и проекции вектора полного ускорения на касательную , т. е. =; вектор нормального ускорения  равен произведению единичного вектора и проекции вектора полного ускорения на главную нормаль , т. е. = . Проекция вектора полного ускорения  на бинормаль равна нулю, т. к. этот вектор находится в соприкасающейся плоскости, которая перпендикулярна бинормали. Три взаимно перпендикулярные оси с началом в движущейся точке : касательная , главная нормаль  и бинормаль (вторая нормаль) , положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , , соответственно, называются естественными осями кривой. Единичный вектор касательной  направлен все время в сторону возрастания дуговой координаты , т.е. в сторону «+», по касательной. Единичный вектор главной нормали , лежит в соприкасающейся плоскости, перпендикулярен и направлен в сторону вогнутости траектории к центру кривизны, по главной нормали. Единичный вектор бинормали определяется по правилу векторного произведения =   . Три вектора  , и  определяют правую естественную систему координат. Правило определения правой системы координат заключается в том, чтобы, смотря навстречу вектору , видеть поворот вектора  к вектору  против вращения часовой стрелки ( рис. 1.1).

Рисунок 1.1. Естественный трехгранник.

Вектор скорости всегда направлен в сторону движения по касательной в точке и равен произведению единичного вектора и проекции вектора скорости  на касательную, т. е  =; Проекция вектора скорости  на касательную  равна первой производной по времени от дуговой координаты , т. е. =  = , которую называют также алгебраической скоростью. Проекция вектора ускорения  на касательную  равна первой производной по времени от проекции , т. е.  = d/d или второй производной по времени от дуговой координаты , т. е. = d²/d² = , которую называют

также алгебраическим касательным ускорением.

Проекция вектора ускорения  на главную нормаль  вычисляется по формуле = , где  - модуль скорости,  - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке, или по формуле . Проекция  всегда положительна. Векторы скорости  и касательного ускорения направлены в сторону уменьшения дуговой координаты , т. е. противоположно знаку «+», противоположно единичному вектору , если < 0 и < 0 и направлены в сторону увеличения дуговой координаты , т. е. в сторону знака «+» , в направлении единичного вектора , если  > 0, > 0. Если < 0, а > 0, то вектор направлен в сторону уменьшения дуговой координаты , т. е. противоположно знаку «+» и противоположно единичному вектору , а вектор  направлен в сторону увеличения дуговой координаты , т. е. в сторону знака «+» , в направлении единичного вектора ; точка же движется в отрицательную сторону. Если > 0, < 0, то вектор  и вектор изменят свое направление на противоположное и точка в этом случае будет двигаться в положительную сторону. Вектор нормального ускорения всегда направлен по единичному вектору главной нормали  в сторону вогнутости траектории и к центру ее кривизны в рассматриваемой точке.

Векторный и координатный способы задания движения. При этом способе задания движения дается уравнение движения в векторной форме

= =,

(1.1)

где единичные векторы;

координаты точки, как функции времени;

– радиус вектор, как функция времени.

При координатном способе задания движения точки (декартовы координаты) даются уравнения движения точки в координатной форме.

При векторном и координатном способах задания движения вычисляют: проекции вектора скорости () и проекции вектора полного ускорения () на координатные оси  модуль вектора скорости = и модуль вектора полного ускорения = проекции вектора полного ускорения  на естественные оси (касательную и главную нормаль ) вычисляются по формулам (1.1) и (1.2)

,	(1.2)
.	(1.3)

При задании движения ортогональными криволинейными координатами касательное ускорение  вычисляется по формуле (1.4). Нормальное ускорение вычисляется по формуле (1.5)

где – единичные (базисные) векторы координатных осей [], [], [],

 проекции и модуль вектора скорости  на координатные оси,

 проекции вектора ускорения на координатные оси [4].

 Векторные условия, определяющие характер и вид движения точки при всех способах задания движения сводятся к тому, что каждому характеру и виду движения точки соответствуют наличие или равенство нулю вектора нормального ускорения (характеризует изменение вектора скорости по направлению) при наличии или равенстве нулю вектора касательного ускорения (характеризует изменение вектора скорости по модулю), а также взаимное расположение вектора скорости  и вектора касательного ускорения на касательной: если векторы скорости и касательного ускорения точки имеют одинаковое направление (движение ускоренное) (рис. 2.1. а), если векторы скорости и касательного ускорения точки направлены противоположно (движение замедленное) (рис. 2.1, б), если векторs и нулевые, то движение равномерное прямолинейное, если только равно нулю, а , то движение равномерное криволинейное (движение по окружности), что соответствует «Классификации движения точки по ускорениям ее движения» [1].

Рисунок 2.1. Векторные условия характера и вида движения точки

а) криволинейное ускоренное движение точки (направления векторов и одинаковы);

б) криволинейное замедленное движение точки (направления векторов и противоположны).

Аналитические условия, определяющие характер и вид движения точки, при естественном способе задания движения сводятся к тому, что каждому характеру и виду движения точки соответствуют наличие или равенство нулю проекции вектора полного ускорения  на главную нормаль (нормальное ускорение) и наличие или равенство нулю проекции вектора полного ускорения на касательную (касательное ускорение), с учетом знаков проекции вектора скорости на касательную и знака [2,3]. В определении характера и вида движения точки участвуют три величины: проекция вектора полного ускорения точки на нормаль =и на касательную , а также проекция на касательную вектора скорости . Направление единичного вектора касательной к кривой , а равно направление касательной, не зависит от направления вектора скорости (от направления движения точки), а направлен всегда в сторону возрастания дуговой координаты [4,5], т.е. направление касательной в сторону возрастания дуговой координаты выделено как положительное. Но так как характер движения точки определяется взаимным расположением вектора скорости и вектора касательного ускорения , то необходимо вычислять и проекцию вектора скорости и проекцию вектора касательного ускорения на касательную. Вид движения (криволинейное, прямолинейное) определяется проекцией вектора полного ускорения  на нормаль , направление которой одинаково для всех способов задания движения точки – направлена к центру кривизны. Значит, если и одного знака (>0, >0 или <0, <0 при ), то движение криволинейное; ускоренное, если (>0, >0 или <0, <0 при ), то движение точки прямолинейное ускоренное. Если и противоположны по знаку, то при  движение будет криволинейным замедленным, а при движение точки будет прямолинейным замедленным. При и движение будет криволинейным равномерным, если и , то движение точки прямолинейное равномерное. Векторные и аналитические условия, определяющие характер и вид движения точки, при естественном способе задания движения (табл. 1).

Таблица 1. Векторные и аналитические условия характера и вида движения точки при естественном способе задания движения.

Векторные условия		Аналитические условия	Характер и вид движения точки
= 0, ≠ 0	Векторы и имеют одинаковое направление: либо векторы и направлены в сторону возрастания дуговой координаты (1), либо в сторону ее уменьшения (2)	1) > 0, > 0 2) < 0, < 0	ускоренное, прямолинейное
	Векторы и противоположно направлены: вектор направлен в сторону возрастания дуговой координаты, а вектор направлен в сторону ее уменьшения (1) или наоборот (2)	1) > 0, < 0 2) < 0, > 0	замедленное, прямолинейное
0, 0	Векторизменяется по модулю и по направлению. Вектор= const	0, 0 = const	равнопеременное, криволинейное
	Векторизменяется по модулю и по направлению. Векторыи одинаково направлены. Векторы и направлены в сторону возрастания дуговой координаты (1) или направлены в сторону ее уменьшения (2)	0, 0 1) > 0, > 0 2) < 0,< 0	ускоренное, криволинейное
	Векторизменяется по модулю и по направлению. Векторыи  направлены противоположно. Вектор направлен в сторону возрастания, а векторв сторону уменьшения дуговой координаты (1) или наоборот (2)	0, 0 1)  > 0,< 0 2) < 0, > 0	замедленное, криволинейное
= 0, = 0	Векторне изменяется ни по модулю ни по направлению	= 0, = 0	равномерное, прямолинейное
0, = 0	Векторизменяется только по направлению. Вектор  перпендикулярен вектору	0, = 0	равномерное, криволинейное
= 0, ≠ 0	Вектор изменяется только по модулю. Вектор = const	= 0, ≠ 0 = const	равнопеременное, прямолинейное

При определении характера и вида движения точки при векторном и координатном способах задания движения точки аналитические условия содержат две величины: проекцию вектора полного ускорения на нормаль и проекцию полного ускорения на касательную . Это связано с тем, что направление единичного вектора , а равно и направление касательной к кривой, выделенное как положительное, совпадает с направление вектора скорости . Тогда получается, что проекция вектора скорости на касательную не зависит от направления движения точки, она всегда будет положительной. Проекция вектора полного ускорения  на касательную будет менять свой знак в зависимости от характера движения точки: если на некотором промежутке времени >0, то направление вектора касательного ускорения будет совпадать с направлением вектора скорости , т.к. проекция вектора скорости  всегда больше нуля >0. Это значит, что направление векторов и одинаково и движение ускоренное. Если <0, то векторы и противоположны по направлению – движение замедленное. Вектор нормального ускорения всегда направлен по нормали к центру кривизны, при всех способах задания движения и проекция его на нормаль всегда положительна. Если нормальное ускорение , то движение криволинейное, если , то движение прямолинейное. Движение точки рассматривается на некотором интервале времени. Векторные и аналитические условия характера и вида движения точки при векторном и координатном способах задания движения представлены в таблице 2.

Таблица 2. Векторные и аналитические условия характера и вида движения точки при векторном и координатном способах задания движения.

Векторные условия		Аналитические условия	Характер и вид движения точки
= 0, = 0	Векторне изменяется ни по модулю ни по направлению	= 0, = 0	равномерное, прямолинейное
0, = 0	Векторизменяется только по направлению.	0, = 0	равномерное, криволинейное
= 0, 0	Векторизменяется только по модулю Вектор= const	= 0, 0 = const	равнопеременное, прямолинейное
	Векторизменяется только по модулю. Направление вектора совпадает с направлением вектора	=0,0 > 0	ускоренное, прямолинейное
	Векторизменяется только по модулю. Направление вектора противоположно направлению вектора	=0,0 < 0	замедленное, прямолинейное
,	Векторизменяется по модулю и по направлению. Вектор= const	0, 0 = const	равнопеременное, криволинейное
	Векторизменяется по модулю и по направлению. Направление вектора совпадает с направлением вектора	0,0 > 0	ускоренное, криволинейное
	Векторизменяется по модулю и по направлению. Направление вектора противоположно направлению вектора	0,0 < 0	замедленное, криволинейное

Пример 1.

Рисунок 1.1. Движение задано естественным способом.

Точка движется по дуге окружности радиуса см. Закон ее движения по траектории:  5sinсм. ( – в секундах,  – в сантиметрах). Определить характер и вид движения точки в момент времени c (рис. 1.1). Решение:

Вычисляем проекцию скорости на касательную =  = cos; проекция вектора скорости  на касательную  = -7,12 см/с; это означает, что вектор скорости направлен в сторону убывания дуговой координаты, т. е в сторону минусов по касательной, точка же движется также в сторону убывания дуговой координаты (направление вектора скорости указывает на направление движения). Модуль скорости равен 7,12 см/с.

Вычисляем проекцию полного ускорения  на касательную т. е = = – . При  = 7 c получаем  = 2,15 см/с². Положительное значение  говорит о том, что вектор касательного ускорения направлен в сторону возрастания дуговой координаты, т. е в сторону знака «+». Знаки и различны, поэтому движение точки по траектории в интервале с моментом является замедленным. Вычисляем проекцию полного ускорения на главную нормаль = / ρ = /  = 5,07 см/с². Вектор  направлен всегда внутрь вогнутости к центру кривизны, в данной задаче к центру окружности. учитывая знаки проекции вектора скорости , проекции вектора полного ускорения  на касательную , величину проекции вектора  на нормаль , делаем заключение, что точка совершает неравномерное, замедленное движение. Противоположное направление векторов иподтверждает также этот факт, что движение точки замедленное; наличие нормального ускорения  говорит о том, что движение криволинейное, а так как  0 и зависит от времени, то оно является неравномерным. Зависимость касательного ускорения от времени = – указывает на то, что движение не является равнопеременным.

Пример 2.

Рисунок 2.1. Движение задано векторным способом.

Уравнение движения точки в пространстве дается в виде векторного уравнения: ,

где это радиус-вектор, который определяет положение точки в пространстве, – единичные векторы (орты) осей  соответственно;  - проекции радиус-вектора  на координатные оси, которые равны координатам движущейся точки  и являющиеся функциями времени.

В данном примере точка движется в плоскости (рис. 2.1).

Векторное уравнение движения точкибудет иметь вид: =,

где ив см,  в с. Необходимо определить характер и вид движения точки для некоторого интервала времени с моментом =1с. Решение: Находим проекции вектора скорости  на оси координат:

Подставив время с в уравнение (4) и (5), найдем проекции вектора скорости  на оси координат при  = 1c равны: 3,628 см/с; 2,094 см/с. Модуль вектора скорости  при  = 1c равен: см/с. Находим проекции вектора ускорения на оси координат, учитывая, что и являются сложными функциями:

Подставив время t = 1c в уравнения (5) и (6), найдем проекции вектора ускорения на оси координат: см/с², см/с², а также его модуль см/с². Вычисляем касательное ускорение (проекцию вектора  на касательную ). Для его вычисления при векторном способе задания движения используем формулу: см/с².

Вычисляем нормальное ускорение: см/с². Если построить в масштабе на рисунке 2.1 векторы , (вектор всегда направлен в сторону вогнутости перпендикулярно вектору скорости) , затем векторы , то совпадение вектора  при двух построениях говорит о том, что расчеты выполнены правильно.

В данном примере движение точки задано векторным способом и алгоритм определения характера и вида движения точки одинаков с координатным способом. Характер движения точки определяется положительным знаком касательного ускорения (= 4,189 > 0). Это значит, что движение точки ускоренное. Более того, модуль касательного ускорения зависит от времени, значит движение неравномерное (зависят от времени). Направлений векторов и , как видно из рисунка (2.1), при ускоренном движении совпадают. Так как нормальное ускорение  не равно нулю, то точка движется криволинейно.

Пример 3.

Рисунок 3.1. Движение точки задано координатным способом.

Даны уравнения движения точки

где x и y в см, t в с.

Эти Уравнения говорят о том, что движение точки происходит в плоскости. Нужно определить характер и вид движения точки в для некоторого интервала времени с моментом  = 0,5 c. (рис.3.1).

Решение:

Уравнения , можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме (в явном виде), исключим из уравнений (1) время  таким способом:, откуда . Это уравнение параболы (рис. 3.1). Находим координаты положения точки на траектории подстановкой  = 0,5 с в уравнения (1):  = 4∙0,5 = 2 см,  = 16∙0,5² = 3 см.

Вычисляем проекции вектора скорости  на оси координат дифференцированием уравнений (1) и подстановкой с: см/с,  = 16 см/с. Модуль скорости определится по формуле:

см/с.

Вычисляем проекции ускорения на координатные оси. Они равны первым производным по времени от проекций вектора скорости  на оси координат или вторым производным от координат точки:  = 0; 32 см/с². Модуль вектора ускорения определится по формуле:

= 32 см/с².

Вычисляем проекции вектора ускорения на естественные оси. Касательное ускорение определяется также как и при векторном способе задания движения, т. е

, где  проекции векторов и на координатные оси соответственно (подставляются в формулу со своими знаками). – модуль вектора скорости, всегда положительное число. Таким образом,

см/с². Проекцию вектора полного ускорения на нормаль  определим по формуле: cм/c².

Уравнение траектории  дает нам возможность по точкам построить траекторию (параболу), а вычисленные значения для  в принятом масштабе дают возможность построить в точке траектории, векторы скорости  и полного ускорения  (рис. 3.1). Построим теперь вектор  с использованием векторов и . Правильность расчетов покажет совпадение вектора при его построении по проекциям на оси декартовых координат ,и по проекциям на естественные оси координат . Характер движения точки определяется положительным знаком касательного ускорения (= 31,0 см/с², > 0). Это значит, что движение точки ускоренное. Более того, модуль касательного ускорения зависит от времени, значит движение неравномерное. Направление векторов и совпадают при ускоренном движении (рис 3.1). Так как нормальное ускорение не равно нулю (см/с²), то точка движется криволинейно.

Заключение

В статье описаны особенности определения характера и вида движения точки в зависимости от способов задания ее движения, а также рассмотрены причины их возникновения.

Представление в таблицах геометрических и аналитических условий при определении характера и вида движения точки создает удобство при решении задач по данной тематике, в использовании результатов исследования механического движения точки.

Статья дает опыт использования логических методов обучения (выявление причинно-следственных связей при исследовании явлений) и призвана стимулировать творческую активность изучающих кинематику точки.

Список литературы

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: Учебник /А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - 16- изд., стер.- М.: КНОРУС, 2011.–608с
2. Тарасов В.Н., Бояркина И.В., Коваленко М.В., Федорченко Н.П., Фисенко Н.И. Теоретическая механика: 3-е изд., исправл., доп., – М.: Изд-во ТрансЛит, 2015.-560 с.
3. Богомаз И.В. Теоретическая механика. Т.1. Кинематика. Статика. Тексты лекций / И.В. Богомаз. – М.: АСВ, 2011. – 216 с.
4. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах.11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. –
5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов. – 20-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2010. – 416 с.