УДК 621.3

Моделирование электрических цепей методом комплексных амплитуд

Худяшов Кирилл Александрович – студент кафедры Высшей математики Дальневосточного государственного университета путей сообщения.

Научный руководитель Мурая Елена Николаевна – кандидат технических наук, доцент кафедры Высшей математики Дальневосточного государственного университета путей сообщения.

Аннотация: Цель статьи показать применения математики в прикладных задачах с учетом прикладного пакета, в частности в электротехники. В статье рассмотрена решения прикладной задачи методом комплексных амплитуд, создана модель расчёта токов и напряжения комплексным методом. В результате использование прикладной программы показано, что решение можно получить за доли секунд, получается быстрое и точное решение. Смоделировав алгоритм решения комплексным методом один раз, можно рассчитать не одну цепь.

Ключевые слова: комплексный метод, комплексное число, электрическая цепь, ток, напряжение.

Производя электротехнические расчёты электроцепей переменного тока сложной конфигурации, пользуются методом комплексных амплитуд («комплексным методом»), взаимосвязанным с одноименными числами.

«Мнимое число» ввел в 1545 г. итальянский математик Д. Кардано, опубликовавший трактат, при решении равенства

применил «несуществующее» число , прописав правило его умножения .

Ученые почти триста лет настороженно смотрели на эти величины, периодически делая попытки избавления от них. Наконец, опубликование труда «Disquisitiones arithmeticae».К. Ф. Гаусса в 1801 году, представившего теорию чисел, открыло комплексным числам зеленый свет. Опытным путем выяснено, что большинство громоздких математических задач решать намного проще, используя мнимые числа.

Электротехнические расчёты сложных электроцепей переменного тока требовали множества трудноразрешаемых интегралов, Ч.П. Штейнметц совместно А.Е. Кеннели в 1893 г. произвели комплексный метод расчёта электрических цепей [1].

В основном задачах электротехники комплексные числа представляются в показательной и тригонометрических формах записи. А так же пользуясь комплексным методом амплитуд необходимо знать запись комплексного числа в показательной и тригонометрической формах записи и так же формулы Муавра.

Показательная форма записи

Тригонометрическая форма записи

Формула Муавра возведения в степень

Формула Муавра извлечения корня из комплексного числа

Переменный ток – такой ток, который меняет величину и направленность от функции времени. Широко распространённая форма существования переменного тока – переменный синусоидальный ток, используемый в промышленности при производстве, передаче и потреблении электроэнергии.

Синусоидальный ток – пародический переменный ток, изменяющийся во времени согласно, закона синуса.

Рисунок 1. Синусоидальный ток.

Ток и напряжение меняются согласно, гармонического закона [2]

где – мгновенные значения;

 – амплитудные (максимальные) величины силы тока и напряжения;

 – начальные фазы.

Действующее значение силы тока и напряжения

Сущность комплексного метода – запись в комплексной форме значений напряжения и силы тока

где  в электротехнике обозначает мнимую единицу, т.к.  обозначают силу тока.

Комплексное значение сопротивления согласуется с законом Ома

где  – комплексное сопротивление;

 – сдвиг по фазе между током и напряжением.

Рассмотрим пример реализации комплексного числа с помощью пакета прикладных программ Maple и построение комплексной диаграммы. На наш взгляд именно этот пакет прост в применении, и быстро позволяет получить необходимый результат, который легко проверить.

Ввод комплексного числа осуществляется через мнимую единицу следующим образом:

> z1:=2*I+3;

Пример построенной комплексной диаграммы в Maple осуществляется следующим образом:

- загрузка пакета черчения

> with(plottools):

- задание токи в виде векторов

> l1:=arrow([0,0], [1,1], 0.1, 0.4, 0.1, color=green):

> l2:=arrow([0,0], [1,2], 0.1, 0.4, 0.1, color=green):

> l3:=arrow([0,0], [-0.5,3], 0.1, 0.4, 0.1, color=black):

- задание аргумента токов в виде арки

> l4:=arc([0,0], 0.5, 0..arctan(1), color=green):

> l5:=arc([0,0], 1.5, 0..arctan(2), color=green):

> l6:=arc([0,0], 2.5, -arctan(6)..0, color=black):

- загрузка пакета для построения графика

> with(plots):

- построение на одном графики комплексного числа и его аргумента

> display(l1, l2, l3, l4,l5,l6);

Рисунок 2. Комплексная диаграмма.

Список литературы

1. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи [1] : учеб. пособие / Г. И. Атабеков.– 7-е изд., стер.– Санкт-Петербург : Лань, 2009.– 592 с.
2. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании [3]: учебник/ В. П. Дьяконов. – М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 688 с.
3. Советов, Б. Я. Моделирование систем [4]: учеб. для академ. бакалавриата / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев ; Санкт-Петербург. гос. электротехн. ун-т "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина).– 7-е изд.– Москва : Юрайт, 2016.– 343 с.
4. Шипачев, В. С. Высшая математика. Полный курс [5] : учеб. для бакалавров / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова.– 4-е изд., испр. и доп.– Москва : Юрайт, 2013.– 608 с.