УДК 51

О повторяющихся числах в последовательности Коллатца

Савинов Сергей Николаевич – младший научный сотрудник ООО «Лаборатория метеотехнологий».

Аннотация: В препринте рассмотрены некоторые свойства чисел в последовательности Коллатца, а также вопрос о повторяющихся числах.

Ключевые слова: последовательность Коллатца, свойства чисел, повторяющиеся числа.

1. Последовательность Коллатца сформулирована как прогрессия (1)

 (1)

 ,  - целые нечетные числа, предыдущий и последующее значение последовательности,  - целое число (, также далее в тексте a, b, c – целые нечетные числа, кроме 1; n, m, r, h - целые числа.

Отсутствие повторяющихся чисел в последовательности прогрессии (1) соответствует справедливости выражения (2), выполняющемуся при аналогичном наборе делителей в правой и левой части (в примере a, b, c).

(2)

2.1

По соотношению значений среднего геометрического левой части выражения с правой частью при рациональном значении степени, очевидно, что для делителей больших 10 выражения (2) справедливы до четырехзвенных случаев.

2.2

Рассмотрим многозвенную последовательность нечетных чисел последовательности Коллатца, например, a, b, c на предмет выполнения неравенства (2).

Допускается преобразование правой части выражения (2) в выражение (3), при котором исключается делитель .

(3)

Обоснование (3) может быть применено для любого делителя в выражении (2), но не может быть справедливо одновременно для нескольких делителей, поскольку выражение (3) для одного делителя предуматривает наличие коэффициентов j для остальных делителей. Обоснование (3) отражает свойство выражения (2).

 (3.1)

В случае более двух делителей в выражении (3) возникают некомпенсированные элементы вида  (3.1) допускающие соответственно делители b и a, таким образом для нескольких делителей обоснование не выполняется.

2.3 Дополнительные решения.

Из обоснования (3) следует справедливость неравенства (2) при равенстве делителей a = b = c (для гиперкуба).

Одним из следствий также является свойство выражения (2), проявляющееся в отсутствии в правой части делителей кратных трем, таким образом, в последовательности Коллатца может быть только одно такое число.

3. Ряд делителей выражения (2) возможно охарактеризовать параметром связности, равным отношению:

где, – количество делителей в левой части выражения (2),  – количество аналогичных делителей в правой части.

Связность u = 1,00 соответствует последовательности Коллатца (при u<1,00 числа не составляют последовательность), связность u > 1 соответствует замкнутой последовательности. Замкнутая последовательность возможна только в однозвенной последовательности для числа 1.

Например, для делителей 5, 15, 19, 21 u = 0,0; для первых 16 делителей из натурального ряда (нечетных) u = 0,6.

Список литературы

1. В.А Ильин, В.А.Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ. Изд 2-е./М. – изд. М. Унив. – 1985 г.