gototopgototop

УДК 51-7

Математическая модель фазовых переходов в сложных информационно-определенных системах

Ленников Роман Витальевич – ассистент кафедры Вычислительной механики и математики Тульского государственного университета.

Аннотация: Предложена модель принятия новаций в сложных информационно-определённых системах через процесс фазового перехода. Дана интерпретация фазового перехода в связке с параметром энтропии. Реализация процесса перехода объектов системы из одного кластера в другой следует логистическому уравнению.

Ключевые слова: Математическая модель, сложная информационно-определенная система, логистическая кривая, логистическое уравнение, энтропия.

В сложной информационно-определённой системе в определенные моменты начинает формироваться новая структура, процесс появления которой является фазовым переходом [3].

Рассмотрим переход объектов информационной системы из одной группы в другую посредством некоторой системной новации.

Пусть среди  объектов, имеющихся в обществе,  объектов относятся к информационному кластеру, тогда  единиц составляют неинформационный кластер. Число способов деления  элементов на два кластера, содержащие соответственно  и  элементов есть величина:

.

Л. Больцман определил энтропию:

,

где  – постоянная Больцмана,  – некоторая константа. Наиболее вероятным считается состояние, которое реализуется наибольшим числом способов при существующих условиях.

Соотношение

можно считать некоторой интегральной функцией, зависящей от наполненности подсистем двух видов. Таким образом, процесс перехода элементов системы из одной подсистемы в другую неразрывным образом связан с изменением энтропии в системе.

Скорость изменения энтропии, при изменении  наполненности каждого кластера на один элемент (±1) может быть описана уравнением:

.

В этом случае скорость воспроизводства энтропии описывается уравнением:

.

Скорость изменения энтропии можно рассматривать как внутреннее время , связанное с изменением энтропии (энтропийное время, связанное с изменением структуры системы).

Используя энтропийное время , получим уравнение, описывающее динамику перехода элементов из одного кластера в другой:

.

Переходя к относительным величинам объема , получим логистическое уравнение:

,

где  – доля элементов, составляющих информационную группу.

Таким образом, процесс перехода элементов из одного кластера в другой представляющий собой диффузию новаций, описывается логистическим уравнением.

Распространение системной новации – кумулятивный процесс, динамика которого, подчиняется обобщенному логистическому закону:

,

где  и  – минимальный и максимальный уровень показателя эффективности новации,  носит смысл внутреннего времени.

Решением данного уравнения служит функция:

,

где , .

В рассматриваемой модели время течет нелинейно, а пропорционально функции интенсивности . Поэтому вид решения существенно зависит от функции .

Процесс смены состояний и перехода элементов системы из одного кластера в другой, является нелинейным.

Перевод элементов системы из одной подсистемы в другую неразрывно связан с действием внешних и внутренних сил. Действие же происходит с затратами энергии. Таким образом, с одной стороны фазовый переход имеет энтропийную основу [1, 2], с другой стороны происходит с некоторыми энергетическими затратами [3].

Естественным будет предположить, что такой переход будет многостадийным, в любой произвольно взятый момент будут существовать элементы, как в старом состоянии, так и в новом. Поэтому фазовый переход можно описать выражением:

.

Левая часть уравнения определяет необходимые энергетические затраты на преобразование структуры:

.

Если ввести обозначение , где  - доля информационной группы в структуре общества, то соотношение, описывающее фазовый переход может быть переписано в виде:

.

где  – главный структурный параметр, параметр связности; – мера внешнего инновационного воздействия; , , , – характеристики системы на каждой стадии, ,  принимает значения 1, 2, 3 в зависимости от мерности пространства, в котором происходит действие.

В такой интерпретации  – доля элементов, перешедших в новое состояние информационного развития,  – доля элементов, сохранивших свое исходное состояние.

Если рассматривать энтропию  случайной величины-индикатора -ого этапа фазового перехода, то производство энтропии-информации (производная энтропии) есть величина равная:

Таким образом, величина действия находится в прямой зависимости от скорости изменения энтропии-информации в системе. В правой части выражения, отражающего фазовые переходы, стоит именно величина скорости изменения энтропии – производство энтропии.

Левая часть соотношения, описывающего процесс фазового перехода, отражает изменение распределения частиц внутри кластеров с постепенным выходом на насыщение.

В системе из  частиц  и  отражают количество частиц в кластерах с новой и старой организацией:  и . Описание эволюции синергетических систем может быть сделано в координатах «соотношение количества новой фазы во времени – внешние силовые воздействия» или «количество новой фазы – сила связи консервативных частиц».

Полученное соотношение отражает интересы в многокомпонентной системе, где совместное функционирование элементов является определяющим механизмом взаимодействий.

Если  – параметр совершенства внутренней структуры, параметр связности, отражает инерционную составляющую, то  – параметр разобщенности компонентов системы, отражает мутационную составляющую в системе.

Количественно соотношение между носителями нового и старого порядка определяется зависимостями:

 и ,

где , ,  – значение внешнего воздействия на систему.

Эволюция многокомпонентных систем будет определяться в каждый момент времени соотношением:

.

Или, делая замену , получим:

.

Таким образом, получено логистическое уравнение, описывающее изменение параметра связности системы и отражающее фазовый переход. Причиной этого процесса является воздействие на социальную систему, оказываемое во всем временном периоде источником внешнего воздействия.

Список литературы

  1. Башкиров А.Г. Энтропия Реньи как статистическая энтропия для сложных систем // Теоретическая и математическая физика — 2006. — Том 149. № 2. — С. 299-317
  2. Ленников Р.В. Моделирование сложных информационно-зависимых систем на примере самоорганизации ноосферы // Вестник новых медицинских технологий — 2010. — Т. 17. № 1. — С. 145-146.
  3. Смирнов А.П., Смирнов А.А. Динамика реальных процессов организации и энергоинверсии. // Труды Конгресса-98, вып. 21.— С.-Петербург, 1999.

Интересная статья? Поделись ей с другими:

Внимание, откроется в новом окне. PDFПечатьE-mail