gototopgototop

УДК 519.248

Оценка справедливости гипотезы Коллатца

Савинов Сергей Николаевич – младший научный сотрудник ООО «Лаборатория метеотехнологий».

Аннотация: В препринте рассмотрена гипотеза Коллатца, условия гипотезы преобразованы в прогрессию, для которой производится анализ на сходимость образуемой последовательности.

Ключевые слова: Гипотеза Коллатца, последовательность.

Формулировка гипотезы Коллатца известна.

Условия гипотезы могут быть сведены к прогрессии (1), образующей последовательность нечетных чисел , .

 (1)

 ,  - целые нечетные числа, предыдущий и последующее значение последовательности,  - целое число (

Возможно охарактеризовать сходимость последовательности прогрессии (1) числом α по выражению (2).

(2)

Характеристика α = 2 при и асимптотически стремится к 1,5 при

, таким образом, последовательность (1) при α > 1 образует расходящийся ряд (при ).

Если ), прогрессия (1) сходится α < 1.

 ~ h – пропорциональность приводит к возможности непрерывного биективного отображения множеств .

Множества  равномерны (по натуральному ряду) и не коррелируют по формулировке, не являясь кратными рядами, поэтому статистическое распределение дискретных отображений  соответствует статистическому распределению рядов  по m.

Суммируя вероятности делителей вида (2x, 4x, 8x, 16x и тд., или начало ряда 2,4,2,8,2…) в натуральном ряду получаем усредненное значение этих делителей для выборки чисел натурального ряда, в соответствии с отображением эта выборка равна числу циклов с. Минимальная величина усредненного делителя соответствует началу ряда делителей и определяются выражением (3).

 (3)

с – число циклов последовательности прогрессии (1) (в ряду результатов – количество нечетных чисел).

Величина с в выражении (3) является максимальной. Минимальная величина c = 0 (соответственно максимум α) имеет место для начальных чисел .

 При соответствии характеристики условиям (5.1) (5.2) прогрессия (1) является сходящейся.

(5.1)

 (5.2)

Таким образом, каким бы ни было начальное число x, найдется предельное количество циклов c нечетных чисел (5.2) после которого характеристика будет соотноветсвовать неравенству и прогрессия (1) образует сходящийся ряд в соответствии с гипотезой Коллатца. Последовательность сходится при величине  (для числа 1).

Пример:

29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Для данной последовательности c=5;

последовательностей (m=1)-1,(m=2)-1,(m=3)-3.

d = 4,3, α = 0,7 (от 29) - последовательность сходится.

Список литературы

  1. 1. В.Н.Калинина. Теория вероятностей и математическая статистика/ М. – Юрайт - 2013.
  2. 2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ. Изд 2-е./ М. – Изд. Моск. Ун. - 1985.
      Интересная статья? Поделись ей с другими:

Внимание, откроется в новом окне. PDFПечатьE-mail