УДК 511.313

Особенности плотности распределения простых чисел

Савинов Сергей Николаевич – студент Белорусского государственного университета.

Аннотация: Статья посвящена теории чисел. Приводятся результаты исследования распределения простых чисел в ряду натуральных чисел, выявлены закономерности в изменении плотности распределения простых чисел.

Ключевые слова: Простые числа, теория чисел.

Натуральный ряд есть последовательность чиселy соответствующий функции (1), где x – порядковый индекс (x = 1, 2, 3…), s – индекс порядка (количество цифр максимального числа y), соответственно при s=2,

= 0,010203040506…. Величина определяется формулой (2).

, (1)

, (2)

Соотношение количества простых чисел в заданном диапазоне к величине данного диапазона натурального ряда можно характеризовать как величину плотности распределения простых чисел. Плотность распределения простых чисел в натуральном ряду неравномерна, обнаруживаются диапазоны сниженной и повышенной плотности различной величины, различной величины диапазонов и различного соотношения. Чередование изменения плотности можно характеризовать как «волны плотности». При исследовании распределения «волн плотности» простых чисел в диапазоне натурального ряда от 0 до 1000 обнаруживаются три участка однотипного порядка распределения волн плотности в виде их концентрического распределения (то есть симметричные в порядке убывания и порядке возрастания величины чисел) относительно собственных центров (далее в тексте упоминается как концентрическая структура, КС). Концентрические структуры включают почти равное количество простых чисел – около 60.Выражая изменения плотности распределения простых чисел в качестве графика, соответственно характеристикой диапазонов повышенной плотности являются максимумы диапазонов повышенной плотности (далее в тексте «максимумы плотности»). Первая концентрическая структура (см. рисунок) имеет центр около 165, и максимумы плотности с радиусом около ±30 относительно центра – соответственно величинами около 135 и около 195, также с радиусом около ±65 – соответственно величинами около 100 и около 230. Вторая концентрическая структура имеет центр около 415, и максимумы плотности с радиусом около ±55 относительно центра – соответственно величинами около 360 и около 470.Третья концентрическая структура имеет центр около 745, и максимумы плотности с радиусом около ±70 относительно центра – соответственно величинами около 675 и около 815, также с радиусом около ±105 – соответственно величинами около 640 и около 850. Также диапазоны повышенной плотности характеризуются величиной диапазона и величиной относительной плотности (соотношение фактической плотности к величине теоретической):для максимума плотности 165 –диапазон равен ±15, относительная плотность - 1,26; 135 и 195 - ±10, 1,6; 100, 230 - ±10, 1,6; 415 - ±30, 1; 360, 470 - ±10, 1,1; 745 - ±30, 1,054; 675, 815 - ±10, 1,3; 640, 850 - ± 10, 1,436.

Рисунок 1. Концентрическая структура плотности распределения простых чисел в натуральном ряду.

Максимумы диапазонов повышения плотностидля трех указанных концентрических структур соответствуют решениям уравнения (3),

,(3)

где n – порядковый индекс определяемого КС ((n-1) – предыдущий спр.)–значение центра первой КС (около165), значение центра определяемого КС,m– целое число(равное, соответственно, для КС с центром около 165 – m = 0, для КС с центром 415 –m = 1,для КС с центром 745 m =3), – геометрическая константа,j–коэффициент шага синусоиды (j≈ 57), r– радиусы концентрических волн плотности для данной КС, или разность числового значения максимумов плотности распределения данной КС и значением центра данной КС, соответственно со знаками ± (концентрическая симметрия в одномерной прямой).

Левая часть уравнения содержитлогарифмическую пропорцию (4), выражающую соотношение значений центров концентрических структур и значения первой КС - результатом пропорцииявляется – величина значения искомого центра. Исходной величиной является результаты решений для следующих КСоколо 415, 745.

(4)

В уравнении (3) логарифмическая пропорция преобразована в функциональный элемент, обозначенный как (не является оператором), который определяется преобразованиями (5).

, , (5)

При .

Праваячасть уравнения соответствует соотношению(6), где b – величина максимума плотности (±r). Максимумы плотностей трех рассмотренныеКСвзаимосвязаны посредством указываемого тригонометрического уравнения (6) с шагом синусоиды около 57 величины натурального ряды. Соотношения для первого КС около 165 составляет 0, поскольку для ,= 0.

, (6)

Решения уравнения (3) определяются как минимальная величина разницы левой его части: так для первой КС это соответствует r 30 и 65, для второй КСr 55, для третьей КС r 70 и 105. Знак ± в правой части уравнения соответствует структуре распределения максимумов диапазонов повышенной плотности в концентрические структуры, то есть, например, для первой КС при r 30 величины максимумов плотности – 135 и 195.

Список литературы