УДК 517.977.5

Разработка системы управления в условиях возмущений

Смирнов Михаил Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета.

Смирнова Мария Александровна – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного университета.

Аннотация: В данной статье рассматриваются особенности конструирования автоматических систем контроля в условиях внешних воздействий. В ходе исследования рассматривается вопрос контролирования движения морского подвижного объекта по определенному курсу при наличии неизвестных заранее внешних возмущений. Специальное внимание уделяется достижению нужных характеристик замкнутой системы, а именно, достижению необходимого запаса устойчивости. Помимо этого, рассматривается вопрос стабилизации морского объекта найденным управлением с учетом действия возмущений сторонних сил и дополнительного запаса устойчивости.

Ключевые слова: управление, моделирование, беспилотный, объект управления, морской.

Системы автоматического управления движением широко распространены в современном мире. Они встречаются в автомобилях, беспилотных аппаратах различного назначения, самолетах, производственных роботах на заводах и кораблях. Благодаря различным датчикам подобные системы позволяют более точно и эффективно управлять различными подвижными объектами. Поэтому такие системы необходимо постоянно развивать и улучшать. В литературе [1-8] встречаются различные варианты построения управлений для разных ситуаций, однако все они до сих пор не охвачены.

В данной статье рассматриваются особенности разработки автоматических систем управления в условиях внешних возмущений. В частности, исследуется задача контролирования движения морского объекта по заданному курсу при наличии неизвестных внешних воздействий. Отдельное внимание уделено достижению требуемых характеристик замкнутой системы, а точнее говоря, достижению необходимой степени устойчивости. Кроме того, изучается проблема стабилизации надводного морского объекта сформированным управлением принимая во внимание действия сторонних сил и неосновные требования к характеристике стабильности общей системы.

Математическая модель морского объекта представляется дифференциальными уравнениями:

Примером возьмем на рассмотрение морской подвижный объект с максимальной скоростью и водоизмещением 4500 м³.

Выделим из математической модели только компоненты, относящиеся к процессу движения по курсу. Получим

Обратим внимание, что в процессе исследования движения морских судов дифферент  считается маленьким. В этом случае из уравнений кинематики остается только одно

.

Здесь силы и моменты  выражаются следующим образом

Здесь  – проекции силы и момента гидродинамики, которые влияют на объект управления,  – проекции силы и момента, появляющиеся при изменении угла вертикальных рулей,  – проекции векторов силы и момента от воздействия сторонних сил в системе координат .

Чтобы вычислить данные проекции, следует воспользоваться следующими формулами

где

В указанных формулах  – угол поворота рулей.

Для исследования динамики объекта необходимо добавить уравнение привода

,

где  – искомое управление. Поскольку на угол поворота рулей накладываются технические ограничения, то их тоже необходимо принимать во внимание:

.

Для формирования управления нам требуемся линеаризовать математическую модель в окрестности нуля по переменным . Тогда при фиксированной скорости мы получим математическую модель курсового движения в линейном приближении

Для рассматриваемого судна мы имеем конкретные значения постоянных коэффициентов:

Как правило, в процессе изучения движения морских судов в качестве одного из параметров вектора состояния принимают дрейф  вместо проекции скорости . В линейном приближении  и  имеют следующую связь , т.е. .

После использования этого уравнения мы получим линеаризованную математическую модель динамики морского подвижного объекта в горизонтальной плоскости

Если примем в качестве вектора состояния  и в качестве вектора сторонних сил  , то можно ввести новые обозначения

и получить линейную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемого судна в горизонтальной плоскости в матричной форме

с матрицами

Теперь нам необходимо принять во внимание, что воздействия сторонних сил  не определены полностью, однако подчиняются ограничению

 для всякого .

Рассмотрим вместе уравнения движения и уравнение рулей, вводя расширенный вектор состояния . Тогда расширенная система линейных дифференциальных уравнений примет вид

где новые матрицы имею вид

Сформируем управление в виде статической обратной связи по состоянию

.

Из-за того, что в определении возмущающих сил  имеется неопределенность, рассмотрим вопрос о наилучшей динамике нашей системы с учетом этой неопределенности. Тогда коэффициенты  подлежат определению в процессе рассмотрения вопроса о минимизации размера  инвариантного эллипсоида с достижением необходимых характеристик нашей системы

.

Предположим, что мы измеряем весь вектор , т.е.

Тогда уравнения замкнутой системы принимают вид

или в матричной форме

Ищем искомый вектор коэффициентов регулятора, который наилучшим образом (в смысле поставленной задачи) компенсирует ограниченные внешние возмущающие воздействия и одновременно обеспечивает желаемую степень устойчивости замкнутой системы:

При этом имеем следующие компоненты вектора , при которых достигается нужная степень устойчивости:

При использовании синтезированного регулятора собственные числа матрицы замкнутой системы принимают значения

т.е. желаемая степень устойчивости достигнута.

Заметим, что учет требования к характеристике устойчивости является весьма важным при решении практических задач. Проведем сравнение полученного здесь результата с найденным управлением и компенсирующим ограниченные возмущения без выполнения дополнительных модальных требований. Для этого регулятора получаем коэффициенты:

Тогда собственные значения матрицы рассматриваемой системы равны

т.е. степень устойчивости при использовании второго регулятора оценивается константой 0.06, что значительно хуже, чем характеристика устойчивости системы с первым регулятором, и плохо показывается себя в динамике объекта и увеличивает длительность процесса поворота.

Теперь сравним поведение динамической системы в различных ситуациях.

Пусть ограниченное внешнее воздействие представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 40 секунд.

На рис. 1 и рис. 2 сплошная линия представляет динамику судна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использовании первого управления, пунктирная – представляет собой те же процессы при применении второго регулятора, построенного без учета требования к степени устойчивости.

Рисунок 1. Изменение курса судна.

Рисунок 2. Отклонение рулей.

Как видно из рис. 1, при использовании первого управления отклонение судна от курса в 5 раз меньше, чем для второго регулятора. При этом время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения в первом случае составляет менее 10 секунд, а во втором – 50 секунд.

Таким образом, в статье представлена и рассмотрена проблема контролирования движения судна в горизонтальной плоскости при наличии неопределенных внешних возмущений. Отдельное место уделяется достижению необходимых характеристик системы, в частности, достижению необходимой характеристики устойчивости. Компьютерное моделирование проведено в системе MATLAB-Simulink.

Список литературы

1. Veremei E.I., Korchanov V.M. Multiobjective stabilization of a certain class of dynamic systems // Automation and Remote Control, №49, 1989. pp. 1210 – 1219.
2. Веремей Е.И. Линейные системы с обратной связью. – СПб.: Изд–во «Лань», 2013 – 448 с.
3. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. – № 9. – С. 126–137.
4. Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. – № 4. –С. 3–14.
5. Smirnova M.A., Smirnov M.N. Multipurpose control laws in trajectory tracking problem.// International Journal of Applied Engineering Research. –2017–11(22), – pp.11104-11109.
6. Vitrant E., Canudas–De–Vit C., Georges D., Alamir M. Remote stabilization via time–varying communication network delays // IEEE Conference in Control Applications, Taiwan, –2004.
7. Smirnov M.N., Smirnova M.A. Control synthesis for marine vessels in case of limited disturbances // Telkomnika (Telecommunication Computing Electronics and Control), – 2018, –16(2), –pp. 648–653.
8. Smirnov M.N., Smirnova M.A. Questions of stabilization and control of unmanned aerial vehicles // Comptes Rendus de L'Academie Bulgare des Sciences, –2018, –71(1), –pp. 87–91.