УДК 338.22.021.4

Математические методы расчета средних ставок подоходного налога и оценки налогового бремени

Васюшкин Никита Валерьевич – бакалавр Санкт-Петербургского государственного университета

Аннотация: Предмет исследования – системы подоходного налогообложения США, ФРГ и Великобритании, модель расчета оптимальных средних ставок подоходного налога. Цель статьи – комплексное изучение систем подоходного налогообложения, исследование математических методов расчета средних ставок подоходного налога и оценки налогового бремени. По результатам исследования была использована теоретико-игровая модель построения оптимальной прогрессивной школы средних ставок подоходного налога, произведен расчёт входных параметров модели по выбранным для оценки налогового бремени по подоходному налогу странам, применена модель шкалы средних ставок подоходного налога для оценки налогового бремени в США, ФРГ и Великобритании, а также осуществлен сравнительный анализ налогового бремени по подоходному налогу в рассмотренных странах. Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых подходов в практике взимания подоходного налога.

Ключевые слова: подоходное налогообложение, налоги, налоговое бремя, экономическое моделирование.

Бюджетно-налоговая политика является одним из основных методов государственного регулирования экономики. Эффективность сбора и использования бюджетных ресурсов является одним из ключевых факторов социально-экономического развития страны. Мировой опыт осуществления налоговой политики свидетельствует, что ключевым вопросом при проведении налоговых реформ является обоснование выбора конкретных ставок налога. Оценка налогового бремени играет важную роль в планировании государственного бюджета и разработке налоговой политики, что делает использование математических методов особенно актуальным. Особую сложность представляет выбор ставок прогрессивного подоходного налога. Это связано с несколькими факторами. В первую очередь, именно подоходный налог в большей степени влияет на налоговую нагрузку граждан. Также стоит отметить, что налог на доходы физических лиц в развитых странах является одним из основных источников доходной части госбюджета. Другим важным фактором является использование прогрессивного подоходного налогообложения как инструмента перераспределения доходов в целях обеспечения социальной справедливости. По этим причинам большинство развитых стран применяют именно прогрессивный подоходный налог.

Теоретической базой исследования является авторский подход к моделированию оптимальной прогрессивной шкалы подоходного налога, предложенный С.В. Чистяковым [4, 9] и развитый Р.О. Смирновым [3, 6, 7, 8].

В статье Р.О. Смирнова [3] разработана методика выбора входных параметров теоретико-игровой модели выбора оптимальной прогрессивной шкалы средних ставок подоходного налога, описанной С.В. Чистяковым в [9], которая является модификацией вариационной модели выбора прогрессивной шкалы средних ставок налога на прибыль, предложенной С.В. Чистяковым совместно с Р.О. Смирновым в 1993 году [4].

Приведем описание теоретико-игровой модели выбора оптимальной прогрессивной шкалы средних ставок подоходного налога и методики выбора ее входных параметров с целью использования для оценки налогового бремени в исследуемых развитых странах.

Прогрессивная шкала средних ставок подоходного налога моделируется в виде абсолютно непрерывной функции , , которая почти везде на заданном отрезке удовлетворяет дифференциальным неравенствам

(1)

и является постоянной на каждом из промежутков и , т.е.

, ,	(2)
, .	(3)

где – суммарный доход физического лица, – необлагаемый налогом минимум дохода, а – пороговый уровень дохода, начиная с которого налог взимается по максимальной средней ставке .

Функция , удовлетворяющая левому неравенству (1), является возрастающей на отрезке , т.к. ее производная, положительна, т.е. это означает, что шкала является прогрессивной. В свою очередь, правое из неравенств (1) гарантирует, что на отрезке возрастает и функция , т.е. с ростом дохода возрастает и часть дохода, остающаяся после уплаты налога, несмотря на рост средней ставки налога.

Далее в статье используется тот факт, что множество всех абсолютно непрерывных решений приведенной выше системы дифференциальных неравенств совпадает с множеством решений дифференциального уравнения с параметром следующего вида:

где – всевозможно измеримые по Лебегу функции.

Поскольку одной из важнейших функций налогов является фискальная функция, то в качестве критерия оптимальности при выборе шкалы подоходного налога рассматривается задача на максимум функционала, описывающего суммарный объем налоговых поступлений в государственный бюджет. Как показано в [9, с. 8-13], указанный функционал имеет вид:

, (5)

где функция – это так называемая функция распределения доходов, значение которой в точке представляет собой суммарный доход всех тех налогоплательщиков, чей личный доход не превышает ; – множество допустимых функций распределения доходов граждан ; – множество всех абсолютно непрерывных функций , удовлетворяющих условиям (1) – (3).

Далее возникает проблема, что функция распределения доходов зависит от выбора налоговой шкалы , однако в аналитическом виде она не может быть определена в силу сложности этого явления [1].

Следовательно, в данной оптимизационной задаче неизвестным является целевой функционал (5). Поэтому рассматриваемая задача относится к классу задач принятия решений в условиях неопределенности. Стандартным инструментом решения указанных задач являются антагонистические игры, которые в этом случае называются играми против природы [7, с. 26-27]. Поиск решения игры осуществляется только за одного игрока, а именно за того, кому «противодействует» природа.

Таким образом, в качестве модели выбора шкалы средних ставок подоходного налога рассматривается задача об отыскании оптимальной стратегии максимизирующего игрока в антагонистической игре , в которой функция выигрыша имеет вид (5), – множество стратегий 2-го игрока, а множество стратегий 1-го игрока представляет собой множество всех абсолютно непрерывных функций , удовлетворяющих условиям:

,	(6)
,	(7)
,	(8)
,	(9)
,	(10)
.

Стоит отметить, что переход к замкнутому множеству значений функции управления , т.е. переход от условия (4) к (6), (7), обеспечивает существование точного решения задачи, а также дает возможность выбирать еще два экзогенных параметра модели и , речь о которых пойдет в следующем параграфе, которые представляют собой, соответственно, минимальное и максимальное (на отрезке ) значение эластичности налоговой шкалы по доходу .

Основным результатом анализа рассматриваемой теоретико-игровой модели является то, что в этой игре у 1-го игрока существует доминирующая стратегия, т.е. оптимальная шкала средних ставок налога, которая определяется следующим образом [9]:

(11)

где

(12)

при этом предполагаются справедливыми неравенства

(13)

которые гарантируют совместность системы условий (6) – (10).

Для использования на практике описанной выше модели (5) – (10) в качестве основы интерактивной диалоговой системы поддержки принятия решений плановым органом, должны быть определены условия допустимого выбора входных параметров модели, а именно , , , и . Эти условия являлись бы ограничениями на действия лица, принимающего решения (ЛПР). В [7, с. 29-30] было предложено выбирать первые 3 параметра следующим образом.

Параметр , представляющий собой, как отмечалось, необлагаемый налогом минимум дохода, предлагается выбирать равным прожиточному минимуму, что обеспечивает выполнение неравенства .

Далее параметр предлагается рассчитывать исходя из того, какой является верхняя граница доходов среднего класса заданной страны. В дальнейшем практическом исследовании будут задействованы налоговые политики следующих стран: США, ФРГ и Великобритания. Все эти сраны входят в Организацию экономического сотрудничества и развития (OECD), и по их аналитическим данным представлено определение кого считать средним классом: это человек, доход которого попадает в рамки от 75% до 200% усредненного дохода индивида в данной стране [2]. Для дальнейшей возможности сравнительного анализа результатов будем применять данные рекомендации к каждой стране, исследуемой в данной работе. Тогда параметр будем рассчитывать, как 200% от средней зарплаты по стране, и нижнюю границу доходов среднего класса , как 75% от средней заработной платы в данной стране. Этот параметр потребуется в дальнейшем.

Параметр , с одной стороны, определяет степень прогрессии налоговой шкалы (скорость возрастания функции ), а с другой – отражает фискальные потребности бюджета.

Выбор параметра должен выбираться ЛПР исходя из ограничения

(14)

Существенное затруднение представляет собой выбор входных параметров и , которые являются параметрами эластичности функции, задающей оптимальную шкалу средних ставок налога, поскольку существует бесконечное число способов выбора двух вещественных чисел на интервале , а дать обоснованные рекомендации по выбору этих значений не представляется возможным.

Решение задачи о выборе оставшихся параметров было предложено Р. О. Смирновым [3]. Данная задача решается через выражение этих параметров через параметры . В таком случае параметр может быть интерпретирован как средняя ставка подоходного налога, взимаемая с дохода со значением .

В таком случае задача сводится к решению следующей системы уравнений относительно параметров :

в соответствии с ограничениями

Таким образом, из системы (15) имеем следующие формулы для расчета параметров :

В свою очередь необходимое условие выбора ставки с учетом условий (16) – (18) будет иметь вид:

Теперь перейдём к практической части исследования. Были рассмотрены практики взимания подоходного налога в трех странах: США, ФРГ и Великобритании. Рассмотрим каждую страну по отдельности по данным за 2022 год.

США

Таблица 1. Входные параметры для модели оптимальных средних ставок подоходного налога в США.

Необлагаемый налоговый минимум x_{_}, $	12950,00
Нижняя граница доходов среднего класса x₀, $	40599,00
Верхняя граница доходов среднего класса x₊, $	108264,00
Максимальная средняя ставка подоходного налога	16,90%
Средняя заработная плата за год, $	54132

Диапазон максимальной средней ставки подоходного налога,

Выбор средней ставки налога

Следовательно, минимально допустимым значением является 10%, максимальным 16%. Находим параметры при и решаем игру (график 1):

Графическим решением данной игры будет следующий график:

График 1. Модель оптимальных средних ставок подоходного налога в США с существующей средней ставкой налога.

Из данных графика можно заметить, что существующая система, поначалу, проходит через границы оптимального диапазона налоговых шкал, но с моментом наступления постепенно выходит за нижнюю границу, что говорит о том, что чем больше зарабатывает человек, тем:

Таблица 2. Входные параметры для модели оптимальных средних ставок подоходного налога в США.

$12’950 – $23’950	$23’951 – $72’599	более $73’000
Средние ставки находятся в оптимальном диапазоне	Налоги взимаются по меньшим средним ставкам, чем в оптимальной модели	Средние ставки находятся на нижней границе оптимального диапазона

ФРГ

Таблица 3. Входные параметры для модели оптимальных средних ставок подоходного налога в ФРГ.

Необлагаемый налоговый минимум x_, €	10347
Нижняя граница доходов среднего класса X0, €	35775
Верхняя граница доходов среднего класса X+, €	95400
Максимальная средняя ставка подоходного налога	36,20%
Средняя заработная плата за год, €	47700

Диапазон максимальной средней ставки подоходного налога,

Выбор средней ставки налога

Следовательно, минимально допустимым значением является 23%, максимальным 36%. Находим параметры при и решаем игру (график 2):

Графическим решением данной игры будет следующий график:

График 2. Модель оптимальных средних ставок подоходного налога в ФРГ с существующей средней ставкой налога.

Из графика можно сделать несколько наглядных выводов.

Поначалу, при доходе до 20’347 EUR, индивид платит по ставке выше, чем оптимальное по модели, но после этого значения налогоплательщики Германии платят по шкале, считающейся оптимальной.

Великобритания

Таблица 4. Входные параметры для модели оптимальных средних ставок подоходного налога в Великобритании.

Необлагаемый налоговый минимум x_, £	12’570
Нижняя граница доходов среднего класса X0, £	24’706,50
Верхняя граница доходов среднего класса X+, £	65’884,50
Максимальная средняя ставка подоходного налога	24,70%
Средняя заработная плата за год, £	32’942

Диапазон максимальной средней ставки подоходного налога,

Выбор средней ставки налога

Следовательно, минимально допустимым значением является 12%, максимальным 24%. Находим параметры при и решаем игру (график 3):

Графическим решением данной игры будет следующий график:

График 3. Модель оптимальных средних ставок подоходного налога в Великобритании с существующей средней ставкой налога.

Из анализа графика можем сделать вывод, что жители Великобритании платят меньшие средние ставки, чем оптимальные модельные средние ставки. Что примечательно, что поначалу с ростом дохода, средняя ставка налога растет по нижней границе оптимального диапазона.

Таким образом, было осуществлено практическое применение модели выбора оптимальной шкалы средних ставок подоходного налога для анализа налогового бремени по подоходному налогу в рассмотренных странах.

Из анализа налогового бремени в США, ФРГ и Великобритании можно заметить, насколько различны практики взимания налогов с граждан, где бо́льшую часть доходов государства составляю прямые налоги, а где косвенные, а также общий уровень благосостояния граждан.

В исследовании основное внимание было уделено практическому анализу оптимальной прогрессивной шкалы подоходного налога и связанных с ней параметров. Социальный элемент включает в себя применение нулевого диапазона в модели, ограниченного минимумом, освобожденного от налога. Была разработана прогрессивная шкала налогообложения с помощью практических расчетов, основанных на уровне зарплат в выбранной области.

В некоторых странах, как, например, Германия, подоходный налог платится почти что всегда по оптимальной ставке, спектр которых был получен путем применения модели оптимальных средних ставок. В США и Великобритании средние ставки налога находятся возле нижних границ диапазона оптимальных ставок, и немного уходят ниже на некоторых моментах, что может рассказать о фискальной политике государств в области подоходного налогообложения.

Список литературы

Некипелов Д.Н. Распределительные свойства и искажающее воздействие налогов на индивидуальные доходы в России. М.: ИЭПП, 2005.
Поиск в Интернете – Under Pressure: The Squeezed Middle Class https://www.oecd.org/social/under-pressure-the-squeezed-middle-class-689afed1-en.htm (Дата обращения12.2022).
Смирнов Р.О. Моделирование выбора параметров шкалы подоходного налога // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Cер. 5. 2011. Вып. 4. С. 141-148.
Смирнов Р.О., Чистяков С.В. О ставках налогообложения как инструменте государственного регулирования // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29. Вып. 2. С. 268-274.
Смирнов Р.О., Чистяков С.В. Подоходное налогообложение: теория и практика взимания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 5: Экономика. 2002. Вып. 3. С. 61-66.
Смирнов Р.О. Моделирование выбора прогрессивной шкалы подоходного налога // Финансы и бизнес. 2016. № 4. С. 22-34.
Смирнов Р.О. Моделирование инструментов бюджетно-налоговой политики государства. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009, 110 с.
Смирнов Р.О. Построение модельной функции распределения доходов // Устойчивое развитие: общество и экономика: материалы VI Международной научно-практической конференции. 2019. С. 554-557.
Чистяков С.В., Ишханова М.В. Математические модели выбора налоговых шкал: учебное пособие. СПб: Изд. С.-Петерб. ун-та, 1998. 52 с.

Интересная статья? Поделись ей с другими: