УДК 004.942

Решение и визуализация задачи о TE-волнах для неоднородного слоя диэлектрика

Зверев Александр Александрович – студент МИРЭА – Российского технологического университета.

Гревцов Максим Алексеевич – студент МИРЭА – Российского технологического университета.

Журавлёв Алексей Витальевич – студент МИРЭА – Российского технологического университета.

Васильев Илья Александрович – студент МИРЭА – Российского технологического университета.

Аннотация: Распространение электромагнитных волн в неоднородных средах является важной темой в области электродинамики и техники связи. Оно имеет широкий спектр применений в различных областях, таких как радио и связь, оптика, радары, медицина и другие. В основе этих применений лежит понимание процессов распространения волн и взаимодействия с неоднородными средами, включая слоистые структуры диэлектриков. В данной статье рассмотрено получение явного решения задачи определения ТЕ-волн в неоднородном слое диэлектрика в виде полинома второй степени. Определение и визуализация профиля решения задачи о ТЕ-волнах.

Ключевые слова: электромагнитные волны, диэлектрик, распространение, поляризация, визуализация.

Цель данной работы заключается в изучении, анализе и визуализации распространения электромагнитных волн в неоднородном слое диэлектрика. Основной упор делается на исследование распространения ТЕ-волн (Transverse Electric – англ, поперечный электрический). Одной из подзадач работы является разработка математической модели и методов визуализации для анализа этих процессов. Работа подразумевает разработку программного приложения с графическим интерфейсом для ввода параметров системы, по которым строится визуализация.

В трехмерном пространстве  (Рисунок 1), c декартовой системой координат  и заполненном изотропной средой без источников, имеющей диэлектрическую проницаемость  и магнитную проницаемость , где  и  – диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума расположен слой диэлектрика толщиной h. Через слой распространятся поля, гармонически зависимые от времени с законом , где  – круговая частота. Электромагнитные поля имеют вид:

	(1)
	(2)

где  – неизвестный комплексный (спектральный) параметр.

Рисунок 1. Геометрия диэлектрического слоя в пространстве. Границы  и – это проекции диэлектрической поверхности.

Определение электромагнитных волн сводится к нахождению нетривиальных решений системы уравнений Максвелла зависящих от координаты z, вдоль которой структура регулярна, в виде :

(3)

с условием непрерывности тангенциальной составляющей электрического и магнитного поля на поверхностях разрыва диэлектрической проницаемости ():

	(4)
	(5)

где .

Относительная диэлектрическая проницаемость для пространства
имеет вид:

(6)

Так же предполагается, что  , является непрерывной функцией на отрезке  т.е.

Задача о поляризованных волнах представляет собой задачу на собственные значения для уравнений Максвелла со спектральным параметром γ, который является постоянной распространения волноводной.

Поле нормальных ТЕ- и ТМ-поляризованных волн в волноводе можно представить с помощью двух скалярных функций

(7)

Таким образом, каждая из задач сводится к нахождению тангенциальной электрической компоненты  или тангенциальной магнитной компоненты .

Принята следующая классификация волн. По параметру  - постоянной распространения:

· распространяющаяся волна характеризуется действительным параметром ;

· затухающая волна характеризуются чисто мнимым параметром ;

· комплексная волна характеризуется комплексным параметром таким, что .

По условию на бесконечности:

· поверхностная волна удовлетворяет условию ;

· вытекающая волна удовлетворяет условию .

Постоянная распространения  характеризует поведение волны (распространяющаяся, затухающая, или комплексная) в -направлении. Классификация волн как поверхностных или вытекающих зависит от поведения в -направление.

Задача  (TE-поляризация) заключается в поиске  таких, что существуют нетривиальные решения дифференциального уравнения:

(8)

Условием сопряжение:

	(9)
	(10)

При по формуле (6) , тогда из уравнения (8) может быть получено уравнение:

(11)

Выберем решение этого уравнение в виде:

(12)

где ;

 – новый (комплексный) спектральный параметр;

 – константа.

Отметим, что предложенная выше классификация волн по параметру γ, естественно переносится на новый спектральный параметр . Если  мы имеем поверхностную волну. Если  мы имеем вытекающую волну.

При  по формуле (6) , тогда их уравнения (8) может быть получено уравнение:

(13)

Выберем решение этого уравнение в виде:

(14)

где  – константа.

При  по формуле (6) , тогда из уравнения (8) может быть получено уравнение:

(15)

где .

Характеристическим числом задачи  (ТЕ-поляризация) называется , если существует нетривиальное решение  уравнения:

(16)

при , удовлетворяющее:

и

(17)

условиям сопряжения:

(18)

Таким образом, были рассмотрены уравнения Максвелла, которые определяют TE- и TM-поляризированные волны при их прохождении через слой диэлектрика. При прохождении волны через слой диэлектрика, эти уравнения позволяют определить характеристики поляризации волны и ее распространение в среде. Также рассмотрены ограничения на границе двух сред.

Решение краевой задачи определения ТЕ волн в слое диэлектрика:

	(19)
	(20)
	(21)

где  – произвольная константа;

 – диэлектрическая проницаемость материала слоя;

 – спектральный параметр, то есть определение совокупностей трёх величин  при которых краевая задача (19)-(21) имеет нетривиальное решение, может быть получено в явном виде, если искать его в форме полинома второй степени:

(22)

с тремя неопределёнными коэффициентами  которые будут найдены в результате удовлетворения условиям задачи (20), (21), а  будет найдено в результате удовлетворения уравнению (19) по формуле:

(23)

При этом должно выполняться условие:

(24)

которое вытекает из физически обусловленного требования ограниченности диэлектрической проницаемости, а для диэлектриков без потерь также должно выполняться условие:

(25)

в модельных расчетах параметр  (частота электромагнитного поля) может принимать произволные вещественные значения.

Применяя условия (19), (20) в указанном порядке к решению  вида (21) получаем систему соотношений:

(26)

которые после преобразований и подстановок в последнее равенство:

(27)

сводятся к квадратному уравнению относительно :

(28)

решая которое, находим собственные значения (характеристические числа) задачи о ТЕ-волнах в слое:

(29)

Значение определяет вытекающую волну волну в слое. Таким образом, из последних равенств в (29) следует, что в слое диэлектрика с полиномиальным профилем проницаемости вида (23) и конкретно (25) всегда и при любой частоте существует вытекающая волна, соответствующая характеристическому числу (поперечному волновому числу волны), которое не зависит от параметров профиля проницаемости, а только от толщины слоя.

Соответствующие решения  из (22) принимают вид:

(30)

Дискриминанты  имеют вид:

(31)

 из (23) принимают вид:

.

(32)

Таким образом, совокупность трёх величин  при которых краевая задача (19)-(21) имеет нетривиальное решение вида (22), задается формулами (29), (30), (32). В этих формулах, при заданной толщине слоя диэлектрика  величины  могут рассматриваться как свободные параметры, выбирая которые соответствующим образом можно добиться выполнения условий (24) и (25).

Условие (24) выполняется, если, например,  и где это нули  из (30):

(33)

Если  то также  так что при этом:

(34)

При  начение определяет поверхностную волну, а значение  вытекающую волну в слое.

В качестве характерных модельных (тестовых) примеров задания параметров можно рассмотреть слой единичной толщины  и задать в (29), (30) и (32) единичную амплитуду на границе слоя диэлектрика, положив и, например, (). В результате из (29), (30) и (32) получаем:

	(35)
	(36)

 из (23) принимают вид:

(37)

Визуализируя график функции (36) для  мы получаем профиль решения задачи о ТЕ волнах, приведённый на Рисунке 2.

Рисунок 2. Профиль решения (36) задачи о поверхностной ТЕ волне.

Составим профиль диэлектрической проницаемости материала слоя для , получим уравнение:

(38)

Произведя визуализацию, мы получаем результат, представленный на Рисунке 3.

Рисунок 3. Профиль диэлектрической проницаемости материала слоя (38).

Для функции :

(39)

профиль решения задачи о ТЕ-волнах соответствующий поверхностной волне представлен на Рисунке 4

Рисунок 4. Профиль решения задачи о поверхностной ТЕ волне для (39).

Для функции :

(40)

для различных значений параметра  представлены на Рисунке 5

Рисунок 5. Профиль решения задачи о поверхностной ТЕ волне для (40).

Для задачи о ТЕ-волнах, заданных уравнением:

(41)

при , и a принимающем значения , профили решение соответствуют графикам, представленным на Рисунке 6.

Рисунок 6. Профиль решения задачи о поверхностной ТЕ волне для (41), при .

График с наименьшим значением параметра  имеет наибольший максимум на рассматриваемом отрезке.

Составим выражение, описывающее диэлектрическую проницаемость материала слоя для :

(42)

При подстановке параметров , будут получены профили диэлектрической проницаемости материала слоя. Визуализация этих профилей представлена на Рисунке 7

Рисунок 7. Профили диэлектрической проницаемости материала слоя для (42), при .

Для разработки пользовательского интерфейса необходимо определить набор входных параметров системы. Для разработанной модели визуализации, параметрами, определяющими профиль решения задачи о TE-волнах, соответствующих вытекающим волнам, являются:

·  – произвольная константа;

·  – коэффициент при старшем члене полинома второй степени; сам полином является решением краевой задачи определения TE волн в слое диэлектрика;

· h – толщина слоя диэлектрика;

·  – тангенциальная электрическая компонента волны, причём

Так же для удобства пользователь сможет задавать концы отрезка , на котором будет строится график.

Для построения профиля диэлектрической проницаемости слоя входные параметра должны содержать:

·  – произвольную константа;

·  – коэффициент при старшем члене полинома второй степени, в виде которого получено решение краевой задачи определения TE волн в слое диэлектрика;

· h – толщину слоя диэлектрика;

· ω – круговую частота

Для всех необходимых входных параметров сделаем поля ввода. При этом поля ввода для функции тангенциальной электрической компоненты, должны поддерживать ввод не только числовых, но и буквенных значений, а также ввод выражений, содержащих математические операции.

На Рисунке 8 изображён интерфейс ввода данных для визуализации профиля решения задачи поверхностной TE-волны и профиля диэлектрической проницаемости материала слоя.

Рисунок 8. Интерфейс ввода данных в приложение визуализации.

Получив входные данные приложение выполняет численный расчёт профилей, после чего на экран пользователя выводятся два построенных графика (Рисунок 9). На рисунке представлены графики определяющие полиномиальные профиль решения задачи о ТЕ волнах и профиль диэлектрической проницаемости материала слоя для уравнения (41) при .

Рисунок 9. Результат работы приложения в виде двух графиков.

Для удобного сравнения профилей решения задач о поверхностных TE волнах, добавлена возможность ввода последовательностей чисел в поля A, . Пример такого ввода и результат работы программы представлены на Рисунке 10.

Рисунок 10. Результат работы приложения при вводе в поле параметра  последовательности значений.

Список литературы

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. – Издание 4-е, стереотипное. – М.: Физматлит, 2005. – 656 с.
2. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/Пер. с англ. – Под ред. А.А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с.
3. Смолькин Евгений Юрьевич, Снегур Максим Олегович. Численное исследование ТЕ-поляризованных комплексных электромагнитных волн в открытом неоднородном слое – Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2021. №1 (57). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/chislennoe-issledovanie-te-polyarizovannyh-kompleksnyh-elektromagnitnyh-voln-v-otkrytom-neodnorodnom-sloe (дата обращения: 15.06.2023).
4. Smirnov Y., Smolkin E. Complex Waves in Dielectric Layer // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41. P. 1396–1403.
5. О существовании бесконечного множества вытекающих комплексных волн в диэлектрическом слое // Доклады российской академии наук. математика, информатика, процессы управления, 2020, том 490, с. 63–66.