УДК 33

Модели формирования оптимального портфеля активов

Павлов Тимур Петрович – студент кафедры корпоративного управления и инноватики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова

Аннотация: В данной статье рассматриваются наиболее популярные математико-экономические модели, применяемые в практике формирования инвестиционных портфелей частных инвесторов и крупных организаций – теория Г. Марковица, модель Блека и портфель по Дж. Тобину. Первостепенная задача данных моделей – дать инвестору возможность оценки потенциального поведения конкретного актива в будущем (его риска, доходности и других характеристик, а также их изменения в корреляции с известными на данный момент тенденциями и взаимосвязи с внешними факторами и факторами рынка ценных бумаг) и помочь определить оптимальное соотношение вложения денежных средств.

Ключевые слова: риск-менеджмент, инвестиции, инвестиционный портфель, портфельные теории, доходность инвестиций, активы, математико-экономические модели.

Автором первой в истории теории портфельной оптимизации является Гарри Марковиц, начавший работу над ней еще в 1951 г. и получивший в 1990 г. Нобелевскую премию в области экономики именно за данное научное исследование.

В основе теории лежит допущение, что все инвесторы в рамках своего портфеля преследуют минимизацию риска при максимизации потенциального дохода [4]. Однако, это допущение не единственно и классическая портфельная теория включает в себя еще пять постулатов:

Экономический рынок наполнен ограниченным числом различных активов, доходности которых представляют из себя случайные величины.
Инвестор осуществляет выбор необходимого ему портфеля исключительно исходя из информации о его средней доходности и риске.
Инвестор способен формировать любой допустимый для данной портфель, структура которого определяется персонально. При этом доходность такого портфеля есть случайная величина.
Инвестор в первую очередь склонен выбирать портфель с гипотетически меньшим риском из двух с примерно равной доходностью.
Любой инвестор гипотетически в состоянии получить оценку средней предполагаемой доходности и степени возможности диверсификации риска, исходя из некоторых статистических данных.

Итак, исходя из перечисленных постулатов основным принципом модели является случайность величины доходности финансового инструмента, которая может изменяться в определенных пределах. При этом в рамках теории Марковица существует упрощение, что доходы, скорректированные на вероятности их наступления, в рамках одного инструмента распределены нормально (по распределению Гаусса). Ключевым упущением модели Г. Марковица многие называют тот факт, что она не конкретизирует взаимосвязь между уровнем риска и требуемой доходностью.

В рамках осуществления оптимизации портфеля по Г. Марковицу происходит расчет следующих ключевых показателей [2]:

Общая доходность портфеля, численно равная средневзвешенной сумме доходностей входящих в него финансовых инструментов:

r_i – доходность инструмента;

w_i – доля инструмента в анализируемом портфеле.

Риск отдельного актива есть среднеквадратическое отклонение его доходности. При этом, чтобы оценить риск совокупности инструментов (портфеля), то необходимо учесть не только показатели изменения риска конкретного актива, но и значения мер его взаимосвязи с прочими активами –коэффициенты ковариации и корреляции:

σ_i — стандартное отклонение доходностей инструмента;

w_i – доля i-го инструмента в портфеле;

k_ij — коэффициент корреляции между i, j-м инструментом;

V_ij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Сущность использования показателей корреляции и ковариации активов

состоит в том, что риски снижаются за счет их обратной взаимосвязи. При этом фиксируются не только частные риски обращения с конкретным активом, но и рыночные риски.

Для процесса создания оптимального портфеля решается оптимизационная задача, направленная либо на минимизацию рисков, либо на

максимизацию доходности. Важно учесть, что в классической теории Марковица вкладываемые денежные средства являются исключительно собственными, учет заемных средств не предполагается, что влечет за собой требование к положительности всех долей инструментов в портфеле и сумме долей, равной единице. Задача оптимизации приобретает следующий вид:

При максимизации доходности:

При минимизации потенциальных рисков:

После того, как для каждого инвестиционного портфеля проведен расчет приведенной выше системы уравнений и неравенств теория Марковица предлагает выбрать из полученного множества «допустимых» портфелей выделить более рискованные относительно других (рис. 1). Далее с использованием метода критических линий выделяют потенциально неперспективные портфели.

Рисунок 1. Графическая интерпретация (кривая) отбора инвестиционных портфелей по Г. Марковицу.

Важным замечанием будет то, что портфельная теория в целом рассчитана лишь на проведение длинных позиций без коротких (длинная позиция – действие на биржевом рынке с целью получения дохода от роста рынка, т. е. классическая схема покупки за низкую цену, а продажи – за более высокую [3]). Из-за этого в том числе на доли ценных бумаг накладывается требование неотрицательности, о чем было сказано выше.

Таким образом, с методологической точки зрения модель Марковица можно назвать практически-нормативной, т. к. она не требует от инвестора конкретного стиля поведения на бирже.

Модели портфеля активов Блека уделяется меньшее внимание за счет того, что она фактически является адаптацией наработок Марковица под осуществляемые на бирже короткие сделки (короткая позиция – действие на биржевом рынке с целью получения дохода от спада рынка. Фактически, это следующая последовательность действий: покупка акций у брокера взаймы, продажа на открытом рынке за высокую цену, ожидание падения цены акций, покупка акций на рынке дешево, возврат займа брокеру. Остаток – прибыль в виде разницы между продажей и покупкой [3]). Например, цена актива гипотетически меняется случайно, а посторонние брокерские издержки, возникающие в процессе игры на бирже не учитываются. В связи с этим одно из главных ограничений теории Марковица – на неотрицательность значений доли финансовых инструментов больше не является актуальным и уместным, т. е. появляется так называемый отрицательный компонент – объем заемных активов. В остальном, методики расчета необходимых показателей в модели Блека полностью совпадают с изложенными в п. 2.2, за исключением модифицированной формулы расчета доходности портфеля [1]:

P^K – стоимость бумаги в конце периода;

P⁰ – начальная стоимость ценной бумаги;

P^g – величина дополнительного (заемного) актива.

Ключевой особенностью портфельной модели Блека является тот факт, что в рамках портфеля можно реализовать сколь угодно высокую доходность, но за счет динамично растущего уровня риска.

Модель портфеля по Тобину была опубликована несколькими годами позднее следом за теорией Марковица. В своих исследованиях он рассматривает так называемый «коэффициент q», который выражает отношение рыночной стоимости инструмента к затратам на его замещение.

В основе модели формирования инвестиционного портфеля по Джеймсу Тобину лежит предположение, что существует некий постоянно стабильный безрисковый актив (к таким относятся государственные облигации или депозиты в крупных банках), в который вкладывается x₀ объемов исходного капитала. Тогда безрисковая часть портфеля представляется в виде (1 - x⁰). В таком случае задача Марковица по формированию оптимального портфеля трансформируется в следующий вид:

m₀ – эффективность безрискового актива;

m_i – эффективность рискованного актива.

В теории Тобина сохраняется требование к сумме долей активов в портфеле, равной 1.

Помимо величины потенциального дохода портфеля инвестора интересует уровень риска той или иной акции. При этом риск всего инвестиционного портфеля должен в обязательном порядке удовлетворять следующему неравенству:

δ_i – рискованность актива в виде среднеквадратического отклонения;

δ_p – значение приемлемого для инвестора уровня риска;

ρ_ij – корреляция доходностей финансовых инструментов портфеля.

Иными словами, экономико-математическая модель задачи оптимизации портфеля по Дж. Тобину представляет собой максимизацию доходности финансовых активов, при которой достигается уровень риска ниже того, что является приемлемым для инвестора.

На основе собственных исследований Тобину удалось сделать вывод, что если существует некоторое множество портфелей, то они лежат на прямой, которая проходит через точки с координатами (0, r_f) и (σ_p, r_p), где под величинами r_f и r_p понимаются соответственно безрисковая и рисковая доходности (см. рис. 2). Отбор наиболее эффективных портфелей, согласно данной модели, происходит путем выбора наиболее крутой такой прямой, проходящей через точку с координатами (0, r_p) и точку T касания к эффективной границе.

Рисунок 2. Графическая интерпретация отбора эффективных портфелей по Дж. Тобину.

Таким образом, рассмотрение различных моделей формирования инвестиционных портфелей активов показало, что необходимо в большей степени уделять внимание двум показателям – средней доходности финансового инструмента и уровню риска. Кроме того, важная роль отведена оценке потенциальной доходности финансовых инструментов, что может быть выполнено на основе имеющейся по рынку статистике. Оптимизация портфеля в усложненных моделях есть двухступенчатый процесс, состоящий из подбора оптимальной комбинации финансовых активов с некоторой долей риска и абсолютно безрисковых активов. Однако важно понимать, что в абсолютно всех методиках присутствует ряд критических допущений, что может повлечь неточную или неграмотную оптимизацию и балансировку показателей риска и доходности. Важно учитывать, что на динамичном рынке ценных бумаг влияние экзогенных факторов настолько значительно, что погрешность исследованных классических моделей может оказаться весьма значительной.

Список литературы

Дубровин В. И., Юськив О. И. Модели и методы оптимизации выбора инвестиционного портфеля // Радіоелектроніка, інформатика, управління. 2008. №1 (19). – Режим доступа. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modeli-i-metody-optimizatsii-vybora-investitsionnogo-portfelya (дата обращения: 20.06.2023).
Канева О. Н., Ильина М. В. Модели формирования инвестиционного портфеля // ОмГТУ. 2012. № 3. – Режим доступа. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modeli-formirovaniya-investitsionnogo-portfelya (дата обращения: 20.06.2023).
Пригородова Е. Что такое шорт и лонг на бирже? // Портал «Открытый журнал». [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://journal.open-broker.ru/trading/chto-takoe-short-i-long-na-birzhe/?ysclid=lf8rms1d8m756438458 (дата обращения: 20.06.2023).
Холоденко О. Составление инвестиционного портфеля по Марковицу // Портал «БКС Экспресс». [Электронный ресурс] — Режим доступа. – URL: https://bcs-express.ru/novosti-i-analitika/sostavlenie-investitsionnogo-portfelia-po-markovitsu-dlia-chainikov?ysclid=lf5qiqelbh576134683 (дата обращения: 20.06.2023).

Интересная статья? Поделись ей с другими: