УДК 511.176

Исследование числовых рядов и дробей ранжированной функцией

Савинов Сергей Николаевич – младший научный сотрудник ООО «Лаборатория метеотехнологий».

Аннотация: В статье рассматривается ранжированная функция, с её помощью осуществляется анализ числовых рядов и дробей. Рассмотрены дроби с функциональной составляющей. Приведенными методами исследованы соотношения числовых рядов, преобразования рядов в рациональное число и рассмотрен ряд простых чисел.

Ключевые слова: Простые числа, числа Фибоначчи, числа Мерсенна, ранжированная функция.

1. Основные методы.

В статье рассмотрены числа в десятичной системе. Анализ дробей произведен на ЭВМ, использованы начальные части числовых рядов и дробей.

В качестве унифицированной формы для представления дроби и преобразования функции использована ранжированная функция (1).Унифицированная форма позволяет присвоить или описать данной дроби последовательную функциональную связью элементов.

(1)

Где, x- порядковый индекс последовательности, s - шаг функциональной последовательности.

Определяется свойство дроби являться рациональной при наличии функциональной связи (функциональной составляющей) её последовательных элементов, соответственно становится возможным выразить такую дробь с прямой или обратной функциональной связью в конечную или периодическую дробь.Таким образом, возможны соотношения (2):

, (2)

Наоборот, при выполнении данных соотношений возможно установить наличие последовательной функциональной связи в числовом ряду или преобразованной из него дроби.

2. Примеры преобразования числовых рядов.

В качестве примеров преобразования числовых рядов в рациональную дробь j по соотношению (2) возможно привести следующие:

- тождественно натуральному ряду (ранжированная форма дроби при s=2, 0,0102030405…), дробь периодическая с периодом .

– тождественно ряду чисел Фибоначчи (0,01010203050813213455904636832003)

– тождественно ряду чисел Мерсенна (при s=2, 0,010307153164296)

– тождественно ряду значений показательной функции с основанием n (для n =2, s=2, 0,02004008016032064128)

996,006(992007) – тождественно ряду параболы (при s=2, 0,010409162536…).

- тождественно ряду значений последовательности

- тождественно ряду значений функции(при s=3, 1,003006010015…).

- тождественно ряду значений экспоненциальной функции.

3. Общий обзор свойств преобразованных числовых рядов.

Числовые ряды в составе десятичных дробей не ограничены, поскольку образующие их функции монотонны и не имеют предела. Из представленных числовых рядов, кроме натурального ряда, образующего периодическую последовательность, целочисленные значения функций не ограничиваются размерностью шага ранжированной функции и суммируются (3), поэтому бесконечность этих дробей не исключается, если рациональность числа может определяться функциональной составляющей.

0,01030927835051546391752577319588 (3)

0,0103092781

243

729

2187

6561

19683

59049

Для дроби выражающей натуральный ряд возможно произвести упрощение, при котором из натурального ряда исключаются числа кратные z. Упрощение производится посредством коэффициента i , , например, при упрощении по числу 3 i=0,(999900), для числа 7 i=0,(99999999999900)

Следовало бы допустить упрощение по большому количеству последовательно увеличивающихся делителей – простых чисел, результатом которого будет дробь начинающаяся с простого числа большего предыдущего простого числа от которого начинается натуральный ряд без чисел кратных исключенным делителям.

При упрощении величина параметра i соизмерима с соотношением количеством чисел образующих ряд к количеству чисел натурального ряда. Таким образом, по соотношению величин i двух числовых рядов, являющихся упрощением натурального ряда возможно судить об относительной плотности распределения чисел в данном ряду. В случае простых чисел сделать подобный вывод затруднительно ввиду бесконечности числа j, сравнение величин j будет соответствовать только той части дроби, которая использована в расчете.

4. Некоторые соотношения рядов.

Соотношения параболы и кубической параболы дает бесконечную периодическую дробь 1,(004002).

Соотношения прямого и обратного порядка натурального ряда при равном количестве чисел в результате дает конечную дробь, конечную до порядка размерности взятых рядов.

Соотношение ранжированной функции последовательности простых чисел и последовательности чисел Мерсенна дает третью ранжированную последовательность чисел, то есть число с функциональной связью.

Образованная последовательность есть монотонно возрастающая последовательность чисел, имеющая в форме дроби размерность шага – последовательность - 1, 1, 2, 3, 7, 12, 29, 53, 114, 190, 442. Таким образом, имеется возможность непрерывного отображения между рядом чисел Мерсенна и рядом простых чисел.

Список литературы

Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. // Математика.// Общий курс. – СПб.: Лань, 2008.
В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. // Математика. // Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.