gototopgototop

УДК 519.237.7

Об интерпретации латентных переменных в задачах многомерного шкалирования

Михно Галина Алексеевна – кандидат технических наук, доцент кафедры Вычислительной математики Тверского государственного университета (ТвГУ, г. Тверь)

Аннотация: Предлагаются процедуры реализации основных этапов процесса решения задачи интерпретации латентных переменных. В основу процедур положены экспертизы формирования множества факторов-интерпретаторов и ранжирования анализируемых объектов, а также критерий ранговой корреляции латентных переменных и факторов-интерпретаторов.

Ключевые слова: Многомерное шкалирование, латентная переменная, интерпретация, нестрогая ранжировка, коэффициент ранговой корреляции.

Введение

Методы многомерного шкалирования (МШ) составляют одно из направлений прикладной статистики [1] и находят широкое применение в технических и социальных науках, в экономике, психологии [2, 3]. Одной из основных задач МШ является смысловая (содержательная) интерпретация латентных (т.е. скрытых, непосредственно не наблюдаемых) переменных, объясняющих попарные сходства, связи или отношения множества анализируемых объектов (см. [2]). Известные методы решения указанной задачи условно можно разделить на три группы по степени влияния в них субъективного мнения на конечный результат: 1 – чисто субъективные методы; 2 – методы завершающей субъективной интерпретации; 3 – методы, основанные на формальных критериях.

К первой группе относятся полностью субъективные методы отождествления каждой латентной переменной с ее интерпретатором. Здесь субъект (исследователь, эксперт, испытуемый) определяет множество факторов, которые, по его мнению, обуславливают исходные попарные меры близостей объектов. Число таких факторов (интерпретаторов) совпадает с числом латентных переменных. Далее на основе анализа геометрической конфигурации множества анализируемых объектов в пространстве латентных переменных и сущности каждого из определенных гипотетических интерпретаторов субъект либо сразу, либо после предварительного “ручного” преобразования конфигурации осуществляет отождествление латентной переменной с ее интерпретатором. При этом преобразование конфигурации заключается в таком повороте координатных осей пространства, которое подтверждает предполагаемую интерпретацию.

Ко второй группе относятся методы, в которых предварительное интерпретируемое преобразование геометрической конфигурации множества объектов в пространстве латентных переменных производится “объективно”, т.е. с использованием формальных критериев. Полагается, что в результате “объективного” поворота может быть получена простая конфигурация объектов, обеспечивающая возможность субъективного определения интерпретаторов и их субъективного отождествления с соответствующими латентными переменными.

Третью группу составляют методы, в которых субъективная составляющая относится к этапу формирования множества гипотетических интерпретаторов и оценивания их численных значений для каждого анализируемого объекта. Причем, число таких интерпретаторов превосходит или равно числу латентных переменных. Задача собственно отождествления интерпретаторов и латентных переменных решается здесь с использованием формальных критериев и решающих статистик.

Первые две группы методов практически применимы лишь для случая размерности пространства латентных переменных, не более, чем два. Кроме того, существенный недостаток первой и второй групп методов состоит в необходимости субъективного эвристического отождествления (по сути угадывания) смыслового фактора, отражаемого каждой из латентных переменных. Последнее не всегда возможно и достоверность интерпретации в рамках данных методов не проверяется. Основным недостатком третьей группы методов является необходимость численного оценивания значений гипотетических интерпретаторов для анализируемых объектов. Известно [4], что задача предоставления требуемой оценки в рассматриваемых методах относится к классу задач большой сложности для субъектов, что может привести к недопустимым (в смысле результатов интерпретации) погрешностям. Согласно тем же исследованиям (см. [4]) наиболее простой задачей для субъекта является предоставление вербальных (качественных) суждений относительно объектов, например, лучше, хуже, равноценно и т.п. для пар объектов.

Изложенные обстоятельства определяют актуальность задачи совершенствования методов интерпретации латентных переменных с целью повышения достоверности получаемой от субъектов информации и снижения влияния субъективных суждений на результаты интерпретации.

В статье дается обоснование и конкретизируются процедуры реализации составных этапов решения задачи интерпретации латентных переменных, обеспечивающие (процедуры) достижение сформулированных целей.

1. Постановка задачи

Пусть в результате использования произвольной (метрической или не метрической) модели МШ решены задача поиска латентных переменных и оценки координат каждого анализируемого объекта. Обозначим через m число объектов, через K число найденных латентных переменных, т.е. размерность пространства латентных переменных, через L={1,…,K} множество номеров латентных переменных, через X=‖xij‖,i=1,…,m;j=1,…,K матрицу оценок координат объектов в пространстве латентных переменных. Здесь xij – оценка j-й координаты i-го объекта.

Перечисленная информация определяет исходные данные для решения задачи интерпретации латентных переменных, которая заключается в необходимости найти (правильное, соответствующее истине) смысловое содержание каждой из выявленных переменных. Постановка и решение данной задачи включает постановку и решение следующих подзадач:

1) формирование полного множества гипотетических интерпретаторов для множества выявленных латентных переменных;

2) конкретизация вида и вербального способа выявления информации, характеризующей рассматриваемые объекты посредством предполагаемых интерпретаторов;

3) конкретизация формального критерия отождествления каждой латентной переменной с ее интерпретатором.

2. Метод решения задачи интерпретации латентных переменных

2.1. Формирование множества гипотетических интерпретаторов.

В основу решения подзадачи формирования исходного гипотетического множества смысловых факторов (интерпретаторов) для латентных переменных из множества L положим процедуру экспертного перечисления [5]. Сущность соответствующего данной процедуре подхода состоит в следующем. Пусть к решению рассматриваемой подзадачи привлекается группа из N экспертов. Каждый из экспертов перечисляет факторы, имеющие смысловое содержание и влияющие, по его мнению, на попарную близость анализируемых объектов. Число называемых каждым экспертом факторов не обязательно равно числу латентных переменных. В общем случае оно может быть как больше, так и меньше числа латентных переменных. Обозначим через Zt,t=1,…N множество факторов, указанных t-м экспертом. Введем суммарное экспертное множество Z=∪Nt=1 Zt смысловых факторов. Число факторов, вошедших в Z, обозначим через n. Далее строится матрица R=‖rtj‖,t=1,…,N;j=1,…,n, где

Вычисляются оценки вероятностей принадлежности факторов из множества Z формируемому исходному гипотетическому множеству смысловых факторов по формуле Pj=1/N ∑Nt=1rtj ,j=1,…,n. Искомое гипотетическое множество Y={y1,…,yT } смысловых факторов-интерпретаторов формируется путем включения в него факторов из Z, для которых Pj≥P. Здесь P – задаваемая исследователем пороговая вероятность включения факторов в искомое множество интерпретаторов. При решении рассматриваемой подзадачи требуется выполнение условия T≥K. Последнее (при необходимости) может быть обеспечено настройкой параметров приведенного подхода, например изменением величины P или требованием к экспертам на включение в множество Zt числа факторов не меньшего, чем K.

2.2. Характеристики объектов посредством интерпретаторов.

С учетом указанной во введении цели ориентации на вербальную информацию будем характеризовать анализируемые объекты посредством их (нестрогого) упорядочения по степени проявления смыслового фактора. В получаемой ранжировке рассматриваемых объектов по конкретному интерпретатору первое место присваивается объекту с наиболее присущим по сравнению с другими объектами проявлением данного фактора и далее объекты располагаются в порядке уменьшения проявления фактора. Если для нескольких объектов проявление фактора одинаково, то им присваивается одинаковый ранг (место), равное среднему арифметическому мест, приходящихся на эти объекты. В последнем случае ранги (места) объектов могут быть дробными. Например, если двум объектам присуще одинаковое проявление фактора и перед ними уже располагаются четыре объекта, то каждый из этих двух объектов получит ранг (место), равный 5.5, т.к. на них приходятся места пятое и шестое.

Наиболее простым (в смысле требуемой от экспертов информации) способом получения рассматриваемых нестрогих ранжировок объектов по каждому из интерпретаторов является экспертиза, основанная на методе парных сравнений объектов [6]. Сущность экспертизы состоит в следующем. Каждый из экспертов производит C2m сравнений пар объектов (каждый объект сравнивается с остальными). В результате формируются матрицы A(t)=‖atij‖,i=1,…,m;j=1,…,m;t=1,…,N. Здесь atij∈{0,1}; atij=1,i≠j, если по мнению t-го эксперта i-му объекту рассматриваемый фактор присущ в большей степени, чем j-му объекту; atij+atji=1 при i≠j; atii=0,i=1,…,m. Далее вычисляются суммарная матрица A=‖aij‖=∑tatij и величины as=∑mi=1ais, s=1,…,m. Результирующая ранжировка объектов по конкретному интерпретатору определяется в соответствии с величинами as, а именно в порядке возрастания данных величин. При равенстве оценок as для нескольких объектов они получают средний арифметический ранг (место), как указывалось выше. Величины as отражают суммарное число случаев, когда эксперты считали, что объекту s фактор был присущ в меньшей степени, чем другим объектам. Нетрудно видеть, что получаемая ранжировка отражает учет степени проявления фактора-интерпретатора в объектах.

В результате реализации рассмотренной экспертизы получим T ранжировок (по числу факторов-интерпретаторов) множества анализируемых объектов. Введем для них обозначение y ̂s=(ys1,…,ysm), где ysj – ранг j-го объекта в упорядочении объектов по s-му фактору-интерпретатору. Пусть далее Y ̂={y ̂1,…,y ̂T} – множество полученных ранжировок, а I={1,…,T} – множество номеров данных ранжировок.

2.3. Критерий интерпретации латентных переменных.

Правомочно положить, что значения координат объектов в пространстве латентных переменных, полученные в результате применения модели МШ (см. п.1), отражают степень влияния (важности) латентных переменных на анализируемые объекты в смысле изучаемого с помощью МШ явления. По аналогии с процедурой из п.2.2 каждый вектор-столбец матрицы X координат может быть использован для определения ранжировок объектов по каждой латентной переменной. В определяемом упорядочении по конкретной латентной переменной на первое место ставится объект с наибольшим значением координаты и далее объекты располагаются по убыванию оценок данной латентной переменной. Для объектов с одинаковым значением координат ранг определяется как среднее арифметическое соответствующих мест (см. п.2.2). Обозначим получаемые таким образом ранжировки через x ̂j=(x ̂j1,…,x ̂jm ),j=1,…,K, где x ̂jq – ранг q-го объекта в ранжировке объектов по j-й латентной переменной.

Теперь в качестве решающей статистики в задаче отождествления конкретной латентной переменной с конкретным фактором-интерпретатором, т.е. в задаче интерпретации латентных переменных, будем использовать коэффициент ранговой корреляции Кендалла [7], который для ранжировок x ̂j=(x ̂j1,…,x ̂jm) и y ̂s=(ys1,…,ysm), jϵL,sϵI вводится следующим образом. Для ранжировки x ̂j положим

Аналогично определим величины d(s)pq для ранжировки y ̂s. Тогда коэффициент ранговой корреляции Кендалла рассматриваемых ранжировок задается величиной

Величины τjs,jϵL,sϵI определяют оценку связи между соответствующими ранжировками и, следовательно, могут использоваться для интерпретации латентных переменных. Полагаем, что смысловой фактор s1 ϵI является интерпретатором латентной переменной j1 ϵL, если τj1 s1=maxjϵL,sϵIτjs. Далее считаем, что смысловой фактор s2 ϵI является интерпретатором латентной переменной j2 ϵL, если τj2 s2=maxjϵL\j1,sϵI\s1τjs. Последовательно применяя приведенную процедуру получим в результате множество пар {(j1,s1),(j2,s2 ),…,(jK,sK )}, каждая из которых определяет латентную переменную и интерпретирующий ее смысловой фактор.

Заключение

Предложенный подход на этапах участия субъектов (экспертов или испытуемых) в процессе решения задачи интерпретации латентных переменных ориентирован на получение качественной информации, которую субъекты способны предоставить, как правило, без особых затруднений. Этап же непосредственной интерпретации переменных реализуется объективно с использованием формального критерия связи латентной переменной и гипотетических факторов-интерпретаторов. Отмеченные обстоятельства обуславливают возможность широкого применения рассмотренного подхода в практических приложениях.

Список литературы

1. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с.

2. Дейвисон М. Многомерное шкалирование: Методы наглядного представления данных / Пер. с англ.- М.: Финансы и статистика, 1988. – 254 с.

3. Трусова А.Ю. Многомерное шкалирование структуры общества. //Вестник СамГУ, 2008. № 7 (66).

4. Ларичев О.И. Новое направление в теории принятия решений: вербальный анализ решений. //Информационные технологии и вычислительные системы (ИТиВС), №1, 1995. - сс. 24 – 34.

5. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А., Соколов В.Б. Теория выбора и принятия решений. – М.: Наука, 1982. – 328 с.

6. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистичесие методы экспертных оценок. – М.: Статистика, 1980. – 264 с.

7. Кендалл М. Ранговые корреляции. – М.: Статистика 1975. – 302 с.

Интересная статья? Поделись ей с другими:

Внимание, откроется в новом окне. PDFПечатьE-mail

Отправить статью

...

Форма оплаты

Номер статьи, присвоенный редакцией
Количество страниц в статье
Количество экземпляров журнала
Доставка: РФСНГ
Скидка (%)
Заказать свидетельство о публикации
1. Стоимость публикации каждой страницы статьи составляет 200 рублей.
2. Стоимость каждого экземпляра журнала, включая его печать и доставку, составляет 350 рублей для России и 420 рублей для стран СНГ.
3. Стоимость свидетельства о публикации составляет 120 рублей

Реквизиты для оплаты через банк