УДК 512.13

Решения ситуационных и геометрических задач заключительных этапов математических олимпиад школьников «Шаг в будущее» и «КМИГ»

Плетнев Андрей Леонидович – кандидат технических наук, доцент кафедры Высшей математики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана.

Плетнева Лариса Александровна – кандидат технических наук, доцент кафедры Прикладной математики Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета.

Аннотация: В статье рассмотрены некоторые особенности решения задач повышенной сложности математических олимпиад школьников «Шаг в будущее» и «Компьютерное моделирование и графика», проходивших в 2021 и 2022 годах, организатором которой является Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Приводятся авторские решения некоторых из них, что дает представление об уровне требований и подготовки школьников. Показаны подходы и методы их решения, которые способствуют развитию специфики мышления и формируют положительный мотив к процессу обучения школьников.

Ключевые слова: математика, олимпиада, геометрия, олимпиада по математике, олимпиада школьников.

В данной статье рассмотрены методы решения математических задач повышенной сложности, таких как ситуационные, геометрические и другие предложенные на заключительных этапах математических олимпиадах среди школьников девятых классов «Шаг в будущее» и «Компьютерное моделирование и графика», которые ежегодно проводятся Московским государственным техническим университетом имени Н.Э. Баумана для учащихся с 8 по 11 классы. В процессе решения ситуационных задач формируются навыки работы с информацией, такие как анализ, обобщение, сравнение, классификация, выбор, комбинирование, варианты по аналогии. Ответ на вопрос ситуационной задачи предполагает «выход» ученика за рамки учебного процесса в пространство социальной практики. Поэтому ситуационные задачи могут выступать в качестве ресурса развития мотивации учащихся к познавательной деятельности.

Олимпиада по математике «Шаг в будущее» - традиционный вид соревнований, формат которого устоялся ещё в конце прошлого века – это отборочный (заочный) тур и заключительный (очный) этап. Продолжительность заключительного этапа для 9−11 классов составляет 3 часа 55 минут.

«Компьютерное моделирование и графика» - новая олимпиада по комплексу предметов, включённая в перечень олимпиад школьников. Требует выполнения графических заданий и решения академических задач по математике. Заключительный этап для 9-11 классов включает 2 тура, которые проходят в один день: 1 тур - академическое соревнование по математике и инженерной графике, длительность 3 часа 55 минут; 2 тур - инженерный тур - компьютерное моделирование изделия на ПК, длительность 1 час 30 минут [2].

Предметные олимпиады, проводимые вузом, становятся не только прекрасным средством популяризации науки среди молодежи, но и важным дополнительным фактором для поступления в вуз.

Цель абитуриента – поступить в вуз на выбранную им специальность. Для этого ему необходимо как можно лучше сдать школьный курс в формате единого государственного экзамена, а также желательно получить диплом предметной олимпиады, который предоставляет дополнительные льготы для поступления в выбранный им вуз. Но, чтобы успешно выступить на олимпиаде в 10 или 11 классе, необходимо иметь достаточный опыт, который приобретается в более раннем возрасте, когда ученик участвует в олимпиадах с 6 класса или ранее. Начиная с 9 класса, уровень задач значительно повышается [4, 5]. В вариантах появляются сложные задачи, к решению которых приступают не все участники, а только около 10% из них. Причем правильно решают только от 1% до 3% от всех участников. Победители и призеры второго этапа получают соответствующие льготы при поступлении в вуз, которые сохраняются в течении двух последующих лет.

На протяжении уже семи лет авторы статьи являются составителями задач для олимпиады и членами апелляционных комиссий. Накопленный опыт позволяет сделать вывод, что чаще всего ученики ошибаются на заключительном этапе при решении задач повышенной сложности или вообще не могут их решить. Для представления о сложности заданий повышенной сложности заключительного этапа предлагается к решению следующие варианты 2021 и 2022 годов [1, 3]. Они снабжены ответами ко всем задачам, а к задачам повышенной сложности приведены их авторские решения, а также критерии проверки их решений.

На заключительном этапе ученику девятого класса предлагаются задачи на следующие темы: уравнение или неравенство; планиметрия (многоугольники); текстовая задача на проценты, доли, части или прогрессия, последовательность; параметр; планиметрия (окружности); ситуационная задача.

Варианты 1 заключительного этапа «Шаг в будущее» 2021-2022 и 2021-2022 учебных годов приведены и разобраны на сайте [2]. В данной статье разбираются варианты 2. Они снабжены ответами, а на две последние задачи приводятся авторские решения.

Вариант 2 заключительного этапа «Шаг в будущее» (9-й класс, 2021-2022 учебный год).

№1: (15 баллов). Решите неравенство:

Ответ: 1.

№2: (15 баллов). Вне прямоугольного треугольника  на его катетах  и  построены квадраты  и . Продолжение медианы  треугольника  пересекает прямую  в точке  Найдите длину отрезка  если длины катетов равны 1 и 6.

Ответ: .

№3: (15 баллов). Школьник Петров проплывает на плоту путь между городами  и  за 12 часов. На моторной лодке вместе с папой он проплывает весь путь от  до  и обратно не менее чем за 5 часов. Точно такое же путешествие, но вместе с дедушкой (от от  до  и обратно) занимает по времени не более 16 часов, при этом собственная скорость лодки при управлении дедушкой на  меньше, чем у папы. Сколько часов школьник вместе с дедушкой плывут на моторной лодке от города  до города  

Ответ: 12.

№4: (15 баллов). При каких значениях параметра  уравнение

 имеет хотя бы одно решение?

Ответ: 4; 6.

№5: (20 баллов). Окружность, вписанная в треугольник , касается стороны  в точке , а стороны  – в точке . На стороне  выбирается точка  так, что отрезок  делит отрезок  пополам. Найдите длину отрезка , если .

Ответ: 3.

Решение. Проведем касательную к данной окружности (см. рис. 1) через точку . Она пересечет  в точке . Четырехугольник – описанный около данной окружности. По свойству описанного четырехугольника: отрезки  пересекаются в одной точке  (Теорема Брианшона), следовательно, диагональ  четырехугольника  делит его вторую диагональ пополам. Пусть , тогда , . Так как , то по Теореме косинусов:

, ,

, .

По свойству описанного четырехугольника:   +

 +  .

Рисунок 1. К задаче 5.

Очевидно, что равенство возможно только при . Действительно, если  то левая его часть меньне правой и наоборот при . Следовательно, , т. е.  – серединный перпендикуляр к отрезку . Итак треугольник  – равнобедренный, поэтому

 

№6: (20 баллов). Первый рабочий красит стандартный номер в гостинице за 1 день, а выкладывает плиткой ванную комнату за 5 дней. Второй рабочий красит стандартный номер в гостинице за 2 дня, а выкладывает плиткой ванную комнату за 8 дней. За какое минимальное количество дней они отремонтируют 36 стандартных номеров и 24 ванных комнаты, если они начинают и заканчивают работать вдвоем одновременно.

Ответ: 96.

Решение. Пусть  дней первый красит, а  дней кладет плитку. Аналогично, пусть  дней второй красит, а  дней кладет плитку.

Тогда,  (*) и

Решив систему с учетом (*), получим:  По условию задачи  и  => , аналогично  и  => => . Действительно, при получаем решение:

Вариант 2 заключительного этапа «Шаг в будущее» (9-й класс, 2022-2023 учебный год).

№1 (15 баллов). Решите неравенство

Ответ: [–3;1).

№2 (15 баллов). В параллелограмме  точка  делит пополам сторону  биссектриса угла  пересекает в точке  отрезок  Найдите площадь четырёхугольника  зная, что 

Ответ: 26,25 кв.ед.

№3 (15 баллов). На беговой дорожке стадиона длиной 400 м одновременно со старта в одном направлении начали забег два спортсмена на дистанцию 10 км. Каждый из них бежал со своей постоянной скоростью. Второй спортсмен пришел на финиш на 20 минут и 50 секунд позже первого и через 33 минуты и 20 секунд после того, как его в пятый раз на дистанции (не считая момента старта) обогнал первый спортсмен. Во время забега первый спортсмен обогнал второго на дистанции после страта не более 10 раз. Найти скорости спортсменов.

Ответ: 9,6 км/ч; 7,2 км/ч.

№4 (15 баллов). Найти все значения параметра , при каждом из которых система имеет единственное решение.

 Ответ:

№5 (20 баллов). В равнобедренном прямоугольном треугольнике  на стороне  выбирается точка  так, что  а окружность, вписанная в треугольник  касается стороны  в точке  и , где точка  – середина . Найдите длину .

Ответ:

Решение. Пусть данная окружность (см. рис. 2) касается  в точке . Очевидно, что центр окружности  лежит на  – биссектрисе угла  Докажем, что точка .

Рисунок 2. К задаче 5.

Пусть . Рассмотрим треугольник : Пусть  , тогда . В четырехугольнике :  (по свойству касательной), следовательно, .

Треугольник  – равнобедренный ( следовательно, (

Вернемся к треугольнику :  Так как  – биссектриса , то  (по двум углам:  следовательно,  (так как  – квадрат). Но по условию .

№6 (20 баллов). На теплоходе находятся команда и пассажиры общим весом 7,5 тонны, причем вес любого человека не более 100 кг. При эвакуации с теплохода все люди размещаются в спасательных шлюпках. Общий вес людей на одной шлюпке не должен превышать 500 кг. Какое наименьшее количество спасательных шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все люди гарантированно смогли разместиться на этих шлюпках?

Ответ: 18.

Решение. Очевидно, что  шлюпок не хватит, т.к., например, если на теплоходе найдутся  человек весом  кг и два по 95кг, то в одну шлюпку можно разместить не более  человек весом  кг . Следовательно, на 17 шлюпках можно разместить не более  из  человек.

Докажем, что  шлюпок в любом случае хватит. Составим список всех людей на судне по убыванию их веса: 1-й самый тяжелый, 2-й самый тяжелый из оставшихся и т.д. Начинаем сажать людей в шлюпки по-порядку, пока их суммарный вес не превышает 500 кг. Пусть в шлюпке  человек, очевидно, что . В результате такой посадки получается, что вес каждой шлюпки не менее  кг. Действительно, пусть это не так, тогда вес какой-то шлюпки менее  кг, и в нее можно посадить дополнительно еще человека. Т.к. вес самого легкого из, севших в эту шлюпку, не более среднего арифметического , то каждый из оставшихся на судне человек весит не более  кг. Итак, их общий вес не менее , ч.т.д.

Вариант 2 заключительного этапа «Компьютерное моделирование и графика» (9-й класс, 2022-2023 учебный год).

№1. Из пункта Б вниз по течению реки начинает движение плот, а в противоположную сторону одновременно с ним выходит катер. По пути следования катера на расстоянии 2 км от Б расположен пункт А, из которого в тот же момент против течения реки начинает движение теплоход. Собственная скорость теплохода в 2 раза превышает скорость течения, собственная скорость катера в 3 раза больше скорости течения. Встретив теплоход, катер мгновенно разворачивается и следует до встречи с плотом, после чего снова разворачивается и движется в сторону теплохода до встречи с ним, затем опять к плоту и т. д. Сколько раз катер встретит теплоход за время, в течение которого теплоход преодолеет расстояние, равное 2000 км?

Ответ: 5.

№2. В трапеции одно ее основание в два раза больше другого. Длины боковых ее сторон равны 7 и 8, а ее площадь равна  Найдите наименьшее из возможных расстояний от точки пересечения диагоналей этой трапеции до середины ее большего основания.

Ответ: 3.

Решение.

Рисунок 3. К задаче 2.

Продолжим до пересечения в точке  (см. рис. 3) боковые стороны  и трапеции . В треугольнике  отрезок  средняя линия, следовательно,  и  медианы и . То есть медиана,  Достроим треугольник  до параллелограмма  

Очевидно, что . По формуле Герона:

  

, иначе

№3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня.

Ответ: –4;0.

№4а. Текст задания предоставляется на отдельном бланке №2.

№4б. По фигуре, заданной в пункте 4а, предлагается выполнить задание на вычисление, например, найти расстояние от точки до прямой.

№5. Текст задания предоставляется на отдельном бланке №3, которое решается на компьютере.

Решение олимпиадной математической задачи требует от школьника осознание условия задачи, упорства в поиске правильного решения, использование нестандартных подходов к ее решению, таких как, дополнительное построение в геометрии или правильный выбор перестановок в комбинаторной задаче.

Список литературы

1. Плетнев А.Л. Решения задач повышенной сложности на примере задач заключительного этапа математической олимпиады школьников "Шаг в будущее"/А.Л. Плетнев, Л.А. Плетнева// -Воронеж: Вопросы науки. 2022.- № 3.-С. 92-99.
2. Олимпиада школьников «Шаг в будущее»/ МГТУ им. Н.Э.Баумана. – Режим доступа: https://olymp.bmstu.ru/ru/mathematics-olymp (дата обращения: 10.02.2024).
3. Плетнев А.Л. Особенности решения геометрических и логических задач на примере математической олимпиады школьников "Шаг в будущее"/А.Л. Плетнев, Л.А. Плетнева// -М: Наука и школа, 2020. - № 6.- С. 176-182.
4. Белянова Э.Н., О задачах отборочного этапа олимпиады "Шаг в будущее" по математике для 9 класса/ Э.Н. Белянова, А.Л. Плетнев// -Киров: Advanced Science, 2020. - № 2 (17).- С. 24-28.
5. Власова О. В. Олимпиада "Шаг в будущее" по математике (9 класс, заключительный этап, 2018)/ О.В. Власова, Л.И. Ткач, Л.А. Шишкина// -Белгород: Трансформация мирового научно-технического знания: материалы науч.-практ. конф., 2018. - С. 5-12.