УДК 519.6

Спектральный метод вычисления дробных производных и дробных интегралов

Научный руководитель Дудин Сергей Александрович – кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры информационных технологий Бурятского Государственного Университета им. Доржи Банзарова.

Филиппова Кристина Васильевна – студент факультета прикладной информатики Института математики и прикладной информатики.

Аннотация: В статье рассматриваются вопросы получения дробных производных и дробных интегралов с помощью спектрального метода. Спектральный метод, в отличие от классических методов вычисления производных через разность значений сигнала и суммы значений для интеграла, позволяет вычислять дробные производные и дробные интегралы с любой степенью через расчёт уравнений изменения амплитуд и фаз анализируемого сигнала. Восстановленные гармонические компоненты, вычисленные по уравнениям, совпадают с производными и интегралами полученными или вычисленными классическими методами. Изменение коэффициентов уравнений, описывающих трендовые линии и фазы сигнала, позволяет получать дробные производные и дробные интегралы с любой необходимой степенью преобразования.

Ключевые слова: математические преобразования, моделирование сигналов, вычисление спектров модели, метод расчёта дробных производных и дробных интегралов.

В ряде случаев решения математических и технических задач применение классических производных и интегралов оказывается недостаточно. Таким примером является оценка состояния оператора человеко-машинных систем по пульсовому сигналу[2], в котором критерием являются значения дифференциально-интегральных преобразований (ДИП)в виде отношений кратных интегралов и дифференциалов. В кратных преобразованиях информация о пульсе содержится в 2-х первых производных и 3-5 кратных интегралах пульсового сигнала. При большей кратности дифференцирования в сигнале остается только шум, при высокой кратности интегрирования сигнал преобразуется в синусоиду, также не имеющей информации о пульсовом сигнале. Наличие всего 4-5 информативных признака, выделенных методом ДИП позволило найти критерии отклонений внутренней температуры и артериального давления оператора для оценки его работоспособности. Недостаток информативных признаков не позволяет точно идентифицировать другие многочисленные отклонения здоровья (заболевания) по параметрам пульса. Поэтому авторами разработан описанный здесь метод вычисления дробных производных и дробных интегралов спектральным методом.

В применяемых в настоящее время методах [1] используют метод факториалов [5] и корней. В методе корней по формуле: 

Оба эти методы работают только при наличии положительных значений исследуемого сигнала [4]. В предложенном авторами спектральном методе рассчитываются изменения амплитуд и фаз спектра модельного сигнала, по которому строятся уравнения преобразования амплитуд и фаз реального сигнала дробной производной или дробного интеграла.

Через преобразование Фурье любой реальный сигнал может быть представлен в виде набора (спектра) гармонических составляющих с соответствующими амплитудами и фазами.

В качестве модели использованы 5 гармонических сигнала с разными периодами, от 20 до 100 дискретизаций с исходной амплитудой равной 1.

Рисунок 1. Спектр модельного сигнала

На рис. 1 показан спектр модельного сигнала. При вычислении производной или интеграла проводилось определение амплитуды соответствующей гармонической компоненты модельного сигнала и вычислялось уравнение изменения амплитуды для каждой частоты. Фазовый сдвиг при вычислении производной или интеграла для каждой гармонической компоненты составляет 90 градусов.

Формулой (1) описывается уравнение изменения амплитуд для производной, формулой (2) описывается уравнение для интеграла.

Рисунок 2. Амплитудный спектр гармоник после вычисления производной

На рис. 2 показан амплитудный спектр модели после вычисления производной.

Рисунок 3. Производная сигнала вычисленная классическим методом для модели

Рисунок 4. Производная сигнала вычисленная спектральным методомчерез расчёт амплитуд и фаз

На рис. 3 и рис. 4 показано изменение производной сигнала вычисленное классическим методом для модели (разность соседних значений сигнала) и спектральным методом через расчет амплитуд и фаз сигнала. Они практически идентичны.

Рисунок 5. Интегральный сигнал вычисленный классическим
методом для модели

Рисунок 6. Интегральный сигнал вычисленный спектральным методом через расчёт амплитуд и фаз.

Соответственно, на рис. 5 и рис. 6 показано изменение интеграла для классического метода (суммы последовательных значений) и вычисленных спектральным методом. Они также практически идентичны.

Таким образом, спектральный метод позволяет получать дифференциалы и интегралы сигналов расчетом амплитуд и фаз по вычисленным уравнениям (1) и (2). А изменение коэффициентов уравнений (угла наклона и фаз) позволяет получать дробные производные и дробные интегралы сигналов с любой дробностью.

Список литературы

1. Дробная производная [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://dzen.ru/media/mathematic/drobnaia-proizvodnaia-okazyvaetsi (Дата обращения: 12.10.2022).
2. Контроль физического состояния оператора человеко-машинных систем по пульсовому сигналу [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://search.rsl.ru/ru/record/01008949495 (17.05.2023).
3. Факториал [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал#:~:text=Факториа́л%20числа%20n%20(лат.%20factorialis,от%201%20до%20n%20включительно (26.05.2023).
4. Association of the second derivative of photoplethysmogram with age, hemodynamic, autonomic, adiposity, and emotional factors[Электронныйресурс]–Режимдоступа: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC6882620/ (17.05.2023).
5. Fractionalcalculus [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus(Дата обращения: 26.05.2023).
6. Дудин С.А., Филиппова К.В. Обобщенное уравнение преобразований спектра для получения дробных производных и дробных интегралов. \\ Научно-практический журнал «Энигма». Выпуск №57-1, (май 2023). С. 159-162.