УДК  532.5

Псевдодифференциальные уравнения механики и диссипация

Айдагулов Рустем Римович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры теоретической информатики механико-математического факультета Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Аннотация. Статья посвящена правильному описанию диссипативных членов в уравнениях импульсов и энергии в механике сплошной среды. Обычно такие члены вводят с завышенной степенью дифференцирования через оператор Лапласа в уравнениях импульсов или в уравнениях теплопроводности. При этом нарушается гиперболичность системы уравнений. А это приводит к бесконечным скоростям распространения возмущений, дополнительным граничным условиям типа условий прилипания и не возможности областей застоя в течениях жидкости. Члены с дополнительным дифференцированием существенно искажают дисперсионные соотношения, что приводит к не правильному описанию волновых процессов и абсолютно не правильному исследованию течений на устойчивость.

Ключевые слова: Псевдодифференциальность, не локальность, гиперболичность, диссипация, устойчивость.

Уравнения механики сплошных сред состоят из уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Для описания диссипации (потери импульса, энергии) вводят дополнительные члены с дифференцированием более высокого порядка. В уравнениях импульсов таким членом членом выражается вязкость. При решении задач, связанных с охлаждением электронных плат, было замечено, что течение жидкости в тонких каналах происходит с существенной потерей вязкости. Согласно наблюдениям [1], в каналах с толщиной порядка нанометров сопротивление уменьшается (по сравнению с расчетами по модели Навье–Стокса) примерно в 10⁵ раз. Попытки заменить описание вязкости другими интегральными членами были и ранее [2]. Интегральные члены по сути представляют псевдодифференциальные операторы [3].

Автор был противником уравнений Навье-Стокса еще с первого знакомства будучи студентом второго курса. Тогда основным возражением к этим уравнениям было потеря гиперболичности уравнений и тем самым нарушение принципа причинно-следственности [4]. Автора подтолкнуло заняться исправлением этих уравнений слухи о многократном расхождении их решений от экспериментов, описанных в [1]. В статической механике уравнения Навье-Стокса выводятся из уравнений Больцмана. Поэтому надо было найти изъян и в уравнениях Больцмана. Они основываются на предположении, что частицы обмениваются импульсами только при соударениях и мгновенно, что приводят к локальным (обычным) дифференциальным уравнениям без предъисторий. Гравитационные силы убывают пропорционально квадрату от расстояния, а вероятность нахождения двух частиц на расстоянии r пропорционально квадрату расстояния. Соответственно, эффект гравитационного взаимодействия между частицами примерно одинакова на любом расстоянии. Это значит, что уравнения Больцмана не работают в космологии несмотря на то, что среднее расстояние между звездами примерно в миллион раз больше их размеров. В плотной среде избытки импульсов и энергии передаются в основном без перемещения молекул от своего среднего положения через их колебательное движение, не учитываемое в осредненных уравнениях.

Таким образом, для исправления уравнений необходимо учесть не локальность сил взаимодействия между частицами. Вначале автор хотел вывести вид функции интенсивности обмена импульсами из численного моделирования множества взаимодействующих между собой частиц с потенциалом сил взаимодействия Леннарда-Джонса или Букингема. Однако, эти силы основаны на грубым предположении о молекулах в виде плоских конденсаторах. Из предположения, что атомы, молекулы состоят из точечного положительно заряженного ядра и вращающихся вокруг них отрицательно заряженных ядер, орбиты которых легко подстраиваются под действием электрических сил, автор получил убывание потенциала сил взаимодействия пропорционально кубу от расстояния, а не шестой степени. Это говорит в пользу некоторой не локальности уравнений механики сплошных сред.

Вывод уравнений импульсов в работах [5,6] не приведены. Их автор получил осреднением уравнений движения большого количества частиц. Будучи не согласным некоторыми положениями осреднения из книги [7], автор использовал осреднение по Гауссу, описанный автором в [8]. Для этого усредняем уравнения движения Ньютона:

интегрируя переменные величины помноженные на положительную весовую функцию , интеграл от которой равен единице. Усредняя распределение массы получим распределение плотности:

Для инвариантности осредненных величин относительно сдвигов системы координат (осреднение сдвинутых величин равно сдвигу осредненных) интегральное ядро должно представляться в виде: . Такое осреднение называется осреднением по Фридрихсону. Для инвариантности величин относительно ориентации системы координат эта функция должна иметь вид: . Многократное осреднение с одним и тем же ядром сводится к однократному осреднению Гаусса с некоторым радиусом осреднения:

Здесь n размерность пространства осреднения, в механике n=3. Это свойство по сути является выражением того факта, что сумма большого количества одинаково распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Осреднение по Гауссу с радиусом осреднения , потом осреднение с радиусом эквивалентно осреднению с радиусом осреднения Поэтому в качестве ядра осреднения обычно используется ядро осреднения из (3).

В качестве осредненной скорости в уравнениях используется среднемассовая скорость:

Это приводит без всяких дополнительных условий (кроме гладкости ) к уравнению непрерывности в пространстве любой размерности:

Не локальные силы взаимодействия с расхождением траекторий частиц дают новый член в уравнениях импульсов, выражаемый через функцию интенсивности обмена на некотором расстоянии с некоторым запаздыванием во времени:

Здесь – внешняя сила, – давление, являющееся потоковой частью передачи импульсов между соседними участками сплошной среды, - не локальный обмен импульсами на некотором расстоянии, выражаемый интегралами от разности осредненых импульсов. Общий вид этого члена имеет вид:

Здесь – смещение (запаздывание) по времени вдоль траектории, – смещение в пространстве. Из представления, что смещение в пространстве есть среднее для многих частиц за много шагов получаем, что зависит от вектора смещения как нормальное распределение, а от времени с дисперсией пропорционало времени смещения, с ослаблением интенсивности от запаздывания по Пуассоновому закону, т.е.

параметры получаются из соотношений предельного перехода к уравнениям Навье-Стокса для широких каналов - , ( - кинематическая вязкость) при ламинарном стационарном течении. Параметр , называемый радиусом нелокальности, определяется из эксперимента. Для воды он равен примерно 39мк.

Для этих уравнений не требуется дополнительное локальное (на значение функции) граничное условие типа отсутствия скольжения. Граничное условие является так же не локальным, получающейся продолжением интегрирования обмена импульсами за пределы границы с дополнительным коэффициентом:

где характеризует не линейность обмена импульсом с границей и определяется из эксперимента. В первой работе [5], автор считал, значение постоянным. Получив финансирование от института машиностроения автор продолжил исследования по этой теме. Закупив медицинские иглы 30G и 32G, провели эксперименты по измерению расхода воды при разных перепадах давления от 5см до 30 см. Расход измерялся электронными весами. Отметим, что внутренний диаметр игл различается существенно даже для экземпляров из одной коробки. Например, в экспериментах с иглами 32G были иглы с внутренними диаметрами 128мк и 134мк. Внутренние диаметры измерялись с помощью электронного микроскопа. Оказалось, что расход не пропорционален перепаду давления. Когда перепад давления маленький (скорости малые) коэффициент потери скорости заметно выше. В работе [6] некоторые соображения привели к формуле (9) относительно коэффициента обмена импульсами на границе. При этом экспериментальные данные очень хорошо (с точностью до ошибок в измерениях) совпали с теоретическими расчётами. Теоретические расчёты показали, что отношение расхода к расходу по формулам Пуазейля зависит не монотонно от внутреннего диаметра трубки. Минимальное значение этого отношения равна 0.59 для внутреннего диаметра . Для проверки этого автор купил новые иглы 25G с внутренним диаметром 400мк . Отношение расходов теоретических расчётов с экспериментальными совпали с точностью до 1%.

При увеличении отношение рассчитанных расходов рост и стремится к 1, при уменьшении так же растёт и пересекает отметку 1 около значения , далее растёт как по гиперболе (обратно пропорционально диаметру). Отметим, что некоторые авторы предлагают в расчётах пользоваться уравнениями Навье-Стокса со скоростью скольжения на границе, определяемой как функция от внутреннего диаметра. В этом случае, для объяснения уменьшения расхода пришлось бы ввести обратное течение вблизи границы.

Полученные уравнения имеют универсальный характер для газов, жидкостей и твёрдых тел, отличаясь только своими параметрами и остаются гиперболическими. Во внутренних областях течения жидкости могут быть слабые тангенциальные разрывы, что приводит к возможности существования застойных зон в области течения.

Течения несжимаемой жидкости, с постоянными вдоль прямых траекторий скоростями ( назовем течениями типа Пуазейля. Они удобны для сравнений решений разных моделей. В этом случае оператор обмена импульсами становится линейным и выражается через ряд по степеням от оператора Лапласа:

Это не означает, что с повышением степени оператора мы получим лучшее приближение. Например при действии этого оператора к функции каждый следующий член дасть еще большее расхождение. В случае вращательного движения ( уже первый член имеет такой же порядок как первый член этого выражения и может дать больший вклад. Эти члены направлены на выравнивание орбитальных скоростей в особенности в случае, когда орбитальные скорости падают при удалении от центра. В галактиках не локальные силы взаимодействия большие и звезды из разных орбит приблизившись меняют свои орбиты, ускоряют соседей расположенные в более дальних орбитах. Это объясняет кривые вращения в галактиках [9, 10]. Такое выравнивание наблюдается и при сливе воды в ванной. Направление вращения зависит от ориентации ванны. Вода со стороны щели начинает течь быстрее и сила Кориолиуса превалирует в направлении перпендикулярном этого направления скорости и оси вращения Земли. Скорость жидкости падает экспоненциально по глубине и вращению подвергается только небольшой слой. Скорость вращения доходит до величин порядка 1м/сек. При этом скорость вращения примерно одинаковая почти по всей поверхности, что трудно объяснить в рамках уравнений Навье-Стокса.

Заметное отличие в решениях проявляется и в задачах обтекания. При дозвуковом обтекании идеальной жидкостью имеет место парадокс Даламбера. Вязкость газа мала и расчеты дадут малое сопротивление пропорционально скорости. В диссертации автора доказана положительность сопротивления любого тонкого профиля в потоке газа с частицами за счет обмена импульсами между газом и частицами [11]. При этом присутствует так же множитель в выражении для сопротивления. А это приводит к выходу члена в функции сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. В нелокальных уравнениях так же присутствует обмен импульсами между разными близкими орбитами, имеющими разные скорости. Соответственно, присутствуют аналогичные эффекты.

Введение в уравнения диссипативного члена с повышением порядка дифференцирования сильно искажает дисперсионные соотношения. Это приводит к не правильным результатам при исследовании волновых процессов, резонансов. Известно, что амплитуда волн в грунте убывают в е (или в 2) раза за определенное количество длин волн для достаточно большого диапазона длин волн (или частот). Это означает, что мнимая часть скорости из дисперсионных соотношений обратно пропорционально частоте в широком диапазоне частот. Уравнения Био совсем не согласуется таким положением. Для такого поведения требуется вводит межфазные силы с половинным дифференцированием на подобии силы Бассе.

Сильное искажение дисперсионных частот происходит в относительно больших частотах (при больших числах Рейнольдса). Соответственно, исследование на устойчивость течений в рамках уравнений Навье-Стокса абсолютно бессмысленна. Отметим, что такое исследование привело к потере устойчивости движения между двумя плоскостями при числах Рейнольдса порядка 500 000. Для течения в цилиндрической трубе (течение Пуазейля) приводит к выводу ее устойчивости при любых числах Рейнольдса. Тогда как устойчивость нарушается уже при числах Рейнольдса порядка 5000.

Таким образом, приходим к выводу о необходимости уравнений с правильными дисперсионными соотношениями. Такие соотношения не могут быть получены в рамках дифференциальных уравнений и хорошие приближения удается получить только в рамках псевдодифференциальных уравнений.

Список литературы

1. Aleksandr Noy, Hyung Guu Park, Francesko Fornasiero,… Nanofluids in carbon nanotubes. Nanotoday, December, 2007, Vol 2,№6.
2. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. Новосибирск, «Наука», 1987 г.
3. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1979 г.
4. Айдагулов Р.Р., Шамолин М.В. Феноменологический подход к определению межфазных сил. Доклады Академии наук, том 412, №1, с.44-47. Москва, 2007.
5. Айдагулов Р.Р., Шамолин М.В. Операторы усреднения и реальные уравнения гидромеханики. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. т.65, стр. 31-47. Москва, 2009 г.
6. Айдагулов Р.Р., Ганиев О.Р. Эффекты нелокальной гидромеханики при течении в тонких каналах. Доклады академии наук, 2017, том 473, №5, с. 536-538.
7. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогеннных сред. М. «Наука», Физматлит., 1978.
8. Айдагулов Р.Р., Главацкий С.Т., Михалев А.В. Модели кластеризации. Фундаментальная и прикладная математика, 2020, том 23 №2, с.17-36.
9. Айдагулов Р.Р. Гидродинамическое объяснение космологических парадоксов. Фундаментальная и прикладная математика, 2016, том 21 №4, с.3-16.
10. Г. Сурдин, … Галактики. Москва, «Физматлит», 2013 г.
11. Айдагулов Р.Р. Плоское обтекание тонких тел потоком газа с частицами. Доклады Академии наук СССР, 1984, том 277 №2, с. 319-322.