УДК 534.14, 621.373, 621.373.9

Динамические кубиты c бигармоническим управлением 1

Горчавкина Анастасия Александровна – аспирант Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; лаборант-исследователь лаборатории Теории наноструктур Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского.

Аннотация: Рассматривается двухчастотный механизм управление динамическими кубитами, которые представляют собой нелинейные элементы - нелинейные резонаторы,- реализуемые на основе джозефсоновских контактов. При воздействии на джозефсоновский осциллятор переменного двухчастотного импульса происходит захват в нелинейный резонанс на центральной частоте (несущей частоте). Вместе с тем, остается возможность манипулирование состояниями кубита на разностной частоте, тем самым осуществлять локализацию состояний на группе уровней, из которых отсутствует утечка состояний на высоколежащие уровни. Вычислены квазиэнергетические уровни динамического кубита и кутрита. Показано, что эти состояний стабильны во времени.

Ключевые слова: джозефсоновские осцилляторы, нелинейная индуктивность, нелинейный резонанс, двухчастотное управление, динамические кубиты.

В последние годы сверхпроводниковые джозефсоновские осцилляторы [1,2] и устройства на их основе привлекают широкое внимание, поскольку они обладают нелинейной бездиссипативной индуктивностью и активно используется для создания резонаторов, кубитов, а также различных измерительных устройств [3-5].

В данной работе рассматриваются новые аспекты работы нелинейных осцилляторов, обусловленные специфическим управлением бигармоническим сигналом. Мы предлагаем конкретную схему возможной реализации нелинейной системой с положительной и отрицательной нелинейностью. Показано, что если ограничится двух- и трехуровневым приближением, то можно реализовать динамический кубит и кутрит, которые могут обладать определенной квазиэнергией. Иными словами, если система обладает квазиэнергией, то это означает существование стабильных состояний, которые при фиксированной отстройке частот зависят от двух управляющих параметров- амплитуд гармоник. Как известно, квазиэнергетические состояния во многом аналогичны стационарным состояниям квантовых систем. Если приготовит состояние системы с заданной квазиэнергией, то она будет находиться в этом состоянии (в пренебрежением диссипацией) достаточно долго. Аналогично, если приготовить суперпозицию состояние с заданной квазиэнергией, то такой волновой пакт будет долго находиться в этой суперпозиции.

В данной работе мы также реализовали численный метод нахождения квазиэнергии и получили зависимости квазиэнергетических уровней от параметров управляющего сигнала (напряжения).

Нелинейный джозефсоновский элемент: схема устройства и метод возбуждения

Рассмотрим эквивалентную схему, изображенную на Рис. 1 (а), которая состоит из джозефсоновского осциллятора (), шунтирующего конденсатора , источника напряжения и связующего конденсатора . Отметим, что при возбуждении нескольких уровней джозефсоновсий осциллятор играет роль кубита, который называется «трансмонный» кубит [3-5].

Рисунок 1. Схема реализации нелинейного элемента: (a) джозефсоновский осциллятор , шунтирующий конденсатор , а также элементов управления: связующего конденсатора и источник напряжения ; (b) – нелинейный элемент-джозефсоновский осциллятор, шунтированный последовательной цепочкой джозефсоновских элементов.

В случае схемы на Рис. 1(b) вместо конденсатора включается цепочка джозефсоновских переходов. Гамильтониан цепи определяется энергией, запасенной в цепи. Во-первых, это кинетическая энергия, полученная при зарядке конденсатора (заряд на конденсаторе). Во-вторых, потенциальная энергия, определяемая магнитной энергий в переходах (магнитный поток ). Наконец, добавок к энергии, который обусловлен внешним источником . Указанные вклады описываются выражением:

,

(1)

где мы перешли к квантовой теории, рассматривая заряд и поток как операторы , наложив на них коммутационные соотношения:, где -постоянная Планка. Итак, первое слагаемое - -кинетическая энергия, - эффективная емкость; -магнитная энергия, которая в частном случае Рис. 1 (a) определяется выражением, где . В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением динамики слабо нелинейного осциллятора, разложив функцию до четвертой степени по магнитному потоку

+.

(2)

Для описания динамики нелинейной системы выразим операторы и через операторы рождения и уничтожения соотношениями:

(3)

где . Нетрудно проверить, что соотношения выполняются, если положить . Подставляя (2) и (3) в (1), получаем:

(4)

- джозефсоновская (плазменная частота) осциллятора. Параметр нелинейности определяется и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В частности, для простого джозефсоновского перехода - параметр нелинейности, отрицателен. Функция управления описывает воздействие напряжения на джозефсоновский осциллятор:

(5)

Заметим, что полученное выражение (4) обладает «отрицательной нелинейностью», поскольку нелинейное слагаемое входит в гамильтониан с отрицательным знаком, который возник при разложении функции в выражении (2). Понятно, что получить осциллятор с «положительной нелинейностью» можно только в результате усложнения схемы изображенной на Рис. 1 (b). Один из вариантов предложен в работах [6, 7]. Идея состоит в том, чтобы включить параллельно джозефсоновскому осциллятору дополнительную серию из последовательно переходов c джозефсоновской энергией . В этом случае получается эффективный гамильтониан типа (4), в котором константа имеет противоположный знак по отношению к выражению (4). Как мы увидим, условия захвата в резонанс будут зависеть от знака параметра нелинейности .

Последнее замечание данного раздела касаются выбора параметров схемы, изображенной на Рис. 1, а также выбора системы единиц при численных расчетах. Типичная частота используемых в ряде работ [3-8] джозефсоновских осцилляторов лежит в интервале ГГц, параметр может принимать значения около 200 МГц; типичные отношения параметров, входящих в (5) принимают значения , . Пусть , тогда единицу измерения напряжения можно определить из соотношения: .

Динамический трансмон. Бигармоническое возбуждение

Пусть на систему воздействуют две гармоники переменного потенциала с близкими частотами. Согласно (5), это переменное возмущение:

.

(6)

Будем называть центральной частотой, а отстройки представляют собой малые отклонения от центральной частоты. Пусть , , тогда можно выполнить усреднение по быстрым частотам (по и кратным ей).

Динамика квантовой системы, управляемой гамильтонианом (4), описывается нестационарным уравнением Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом:

(7)

Выделим быстрое вращение вектора в (7), совершив унитарный поворот

(8)

где , а - медленная функция. Отметим, что операторы рождения и уничтожений при данном унитарном повороте преобразуются следующим образом:

, .

(9)

Подставляя (8) в (7) , и учитывая (9), получим уравнение для функции :

(10)

где

.

(11)

Из (11) видно, что частота изменения волновой функции в главном приближении определяется колебаниями на разносной частоте , поэтому можно усреднить (10) и (11) по быстрым движениям на частоте . Сказанное означает, что мы усредняем любую функцию временипо периоду согласно:

,

(12)

оставляя медленную зависимость от времени, возникающую при переходе от периода к периоду. Поскольку , то это означает, что множители при усреднении согласно (12) можно считать постоянными на периоде. Данное приближение называется приближением вращающейся волны (RWA) и широко используется в оптике [9].

В результате усреднения мы получаем:

(13)

где - медленная функция времени, а эффективный гамильтониан медленного движения имеет вид:

,

(14)

где .

Из вида гамильтониана (14) следует, что в данном случае для медленной функции имеет место нестационарное уравнение Шредингера (13). Важно подчеркнуть, что имеется большой энергетический интервал и эквивалентные полосы , , получаемые сдвигом вдоль оси энергии, в которых расположены квазиэнергетичекие уровни.

Гамильтониан (14) будет использован для изучения динамических кубитов. Прежде всего, мы замечаем, что несмотря на несоизмеримость периодов (частот) функции : и , гамильтониан не меняется при преобразовании. Это связано с тем, что после усреднения эффективный гамильтониан меняется на масштабе . Отсюда следует, что можно будет ввести квазиэнергию, заданную на новом масштабе . Таким образом, полоса разбивается на промежутки шириной , в которых расположены квазиэнергетические уровни (14).

Действительно, решение (13) на большом периоде можно записать в виде:

(15)

где -оператор хронологического упорядочения. Квазиэнергию можно определить как собственное значение оператора , определяемое соотношением:

.

(16)

Данное выражение будет использовано в следующих разделах для аналитических и численных расчетов.

Таким образом, если существует квазиэнергия, то это означает существование стабильных состояний нелинейных систем при, которые при фиксированной отстройке зависят от двух управляющих параметров: и .

3.Квазиэнергии динамического кубита. Численное моделирование

В данном разделе мы будем изучать динамику многоуровневых систем в поле бигармонического сигнала, описываемых гамильтонианом (14). Как видно из (14), невозмущенный гамильтониан

(17)

можно диагонализовать в фоковском базие : . Спектр выражается соотношением: . Пусть система характеризуется положительным ангармонизмом . В этом случае при малой отстройке от резонанса с ростом расстояние между уровнями растет, поэтому при учете влияния возмущения в (14) можно ограничиться небольшим числом уровней.

Систему с двумя состояниями () будем называть динамическим кубитом. В подпространстве эффективный гамильтониан кубита имеет вид:

,

(18)

Объект с - естественно назвать динамическим кутритом, который описывается гамильтонианом:

,

(19)

При можно легко найти численно квазиэнергию [11-13] с использованием приближенных выражений (18) и (19) для гамильтониана. Ситуация несколько осложняется при отрицательной нелинейности, когда и . В этом случае из выражения следует, что с увеличением размера матрицы энергетические уровни могут сильно сближаться и даже могут пересекаться при изменении параметров и . Например, если , это будет означать, что при и при расчете квазиэнергии необходимо учитывать большое число уровней , такое, что . Этот случай требует особого подхода, однако оценки показывают, что указанные эффекты качественно не влияют на результаты, полученные ниже, при малом параметре нелинейности.

Кратко опишем метод численного решения уравнения (13) и расчета квазиэнергий (15), который разработан в данной работе. В выбранном базисе на периоде решалось уравнение (13), после чего был вычислен оператор Флоке (см. (15)). Далее, производилась диагонализация и согласно (16) находились квазиэнергии и собственные функции -функции Флоке.

На рисунку 2 (а) показана зависимость квазиэнергий двухуровневой системы (динамического кубита) как функция амплитуды развертки (измеряемой в единицах ). При этом амплитуда фиксирована и равна: при положительном параметре нелинейности (в единицах ). На Рис. 2(b) представлены аналогичные зависимости при отрицательном параметре нелинейности.

Рисунок 2. Квазиэнергии динамического кубита.

На рис. 2 (a) представлены зависимости квазиэнергии от безразмерного напряжения (измеряемой в единицах ) при (в единицах ) при положительном параметре нелинейности . На Рис. 2(b) показаны квазиэнергии при аналогичных параметрах и при .

Рисунок. 3 Квазиэнергии трехуровневой динамической системы (кутрита), полученные путем численного решения уравнения Шредингера как функции безразмерного напряжения при фиксированном значении и положительном параметре нелинейности . На Рис. 3(b) показаны квазиэнергии при аналогичных значенияхи при . Отстройка от резонанса: .

Таким образом, если существует квазиэнергия, то это означает существование стабильных состояний динамических кубитов, которые при фиксированной отстройке зависят от двух управляющих параметров: и .

Заключение

Таким образом, нелинейная многоуровневая система, управляемая бигармоническим сигналом, может захватываться во вторичные резонансы, а её состояния характеризуются сохраняющейся величиной – квазиэнергией. Дополнительные квазиэнергетические уровни расположены в полосах шириной . Как известно, квазиэнергетические состояния во многом аналогичны стационарным состояниям квантовых систем [11-13]. Если приготовить состояние системы с заданной квазиэнергией, то система в пренебрежением диссипацией будет находиться в этом состоянии достаточно долго. Аналогично, если приготовить суперпозицию состояние с заданной квазиэнергией, то такой волновой пакт будет долго находится в этой суперпозиции. Показано, что такие состояния могут быть реализованы на основе джозефсоновских переходов с положительной и отрицательной константой нелинейности. Как известно, время декогеренции современных джозефсоновских осцилляторов составляет доли миллисекунд [3,4], поэтому на первом этапе рассмотрения диссипация может не учитыватся.

Список литературы

  1. К.К. Лихарев. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985.
  2. М.Тинкхам. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980.
  3. P. Krantz, M.Kjaergaard, F. Yan, T. P. Orlando, S. Gustavsson, W.D. Oliver, Appl. Phys. Rev. 6, 021318 (2019); https://doi.org/10.1063/1.5089550
  4. В.А.Вожаков, М.В.Бастракова, Н.В. Кленов, И.И.Соловьев, В.В. Погосов, Д.В. Бабухин, А.А. Жуков, А.М.Сатанин// 2022, УФН, Т.192, стр. 457-476.
  5. A. Blais, A. L. Grimsmo, S. M. Girvin, and A. Wallraff, Rev. Mod.Phys. 93, 025005 (2021).
  6. V. E. Manucharyan, J.Koch, L.I. Glazman, M.H. Devoret, Fluxonium: Single cooper-pair circuit free of charge offsets. Science 326, 113–116 (2009DOI: 10.1126/science.1175552.
  7. E. Hyyppä, S. Kundu, C.F. Chan, et al. Unimon qubit. Nat Commun 13, 6895 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-34614-w.
  8. F.Bao, et al. Fluxonium: An alternative qubit platform for highfidelity operations. Phys. Rev. Lett. 129, 010502 (2022).
  9. М.О.Скалли, М.С. Зубайри, Квантовая оптика, Москва, ФИЗМАТЛИТ (2003).
  10. Blais A.,et al.Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computation // Phys. Rev. A. - 2004. - Vol. 69.- P. 062320-1-062320-14.
  11. J.H. Shirley, Solution of the Schrödinger Equation with a Hamiltonian Periodic in Time, Phys. Rev. 138, B979 (1965).
  12. Я. Б. Зельдович. ЖЭТФ, 51, 1492, 1966.
  13. В. И. Ритус. ЖЭТФ, 51, 1544, 1966.

1 Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант # 22-21-00586).

Интересная статья? Поделись ей с другими: