УДК 534.14, 621.373, 621.373.9
Динамические кубиты c бигармоническим управлением 1
Горчавкина Анастасия Александровна – аспирант Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; лаборант-исследователь лаборатории Теории наноструктур Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского.
Аннотация: Рассматривается двухчастотный механизм управление динамическими кубитами, которые представляют собой нелинейные элементы - нелинейные резонаторы,- реализуемые на основе джозефсоновских контактов. При воздействии на джозефсоновский осциллятор переменного двухчастотного импульса происходит захват в нелинейный резонанс на центральной частоте (несущей частоте). Вместе с тем, остается возможность манипулирование состояниями кубита на разностной частоте, тем самым осуществлять локализацию состояний на группе уровней, из которых отсутствует утечка состояний на высоколежащие уровни. Вычислены квазиэнергетические уровни динамического кубита и кутрита. Показано, что эти состояний стабильны во времени.
Ключевые слова: джозефсоновские осцилляторы, нелинейная индуктивность, нелинейный резонанс, двухчастотное управление, динамические кубиты.
В последние годы сверхпроводниковые джозефсоновские осцилляторы [1,2] и устройства на их основе привлекают широкое внимание, поскольку они обладают нелинейной бездиссипативной индуктивностью и активно используется для создания резонаторов, кубитов, а также различных измерительных устройств [3-5].
В данной работе рассматриваются новые аспекты работы нелинейных осцилляторов, обусловленные специфическим управлением бигармоническим сигналом. Мы предлагаем конкретную схему возможной реализации нелинейной системой с положительной и отрицательной нелинейностью. Показано, что если ограничится двух- и трехуровневым приближением, то можно реализовать динамический кубит и кутрит, которые могут обладать определенной квазиэнергией. Иными словами, если система обладает квазиэнергией, то это означает существование стабильных состояний, которые при фиксированной отстройке частот зависят от двух управляющих параметров- амплитуд гармоник. Как известно, квазиэнергетические состояния во многом аналогичны стационарным состояниям квантовых систем. Если приготовит состояние системы с заданной квазиэнергией, то она будет находиться в этом состоянии (в пренебрежением диссипацией) достаточно долго. Аналогично, если приготовить суперпозицию состояние с заданной квазиэнергией, то такой волновой пакт будет долго находиться в этой суперпозиции.
В данной работе мы также реализовали численный метод нахождения квазиэнергии и получили зависимости квазиэнергетических уровней от параметров управляющего сигнала (напряжения).
Нелинейный джозефсоновский элемент: схема устройства и метод возбуждения
Рассмотрим эквивалентную схему, изображенную на Рис. 1 (а), которая состоит из джозефсоновского осциллятора (), шунтирующего конденсатора , источника напряжения и связующего конденсатора . Отметим, что при возбуждении нескольких уровней джозефсоновсий осциллятор играет роль кубита, который называется «трансмонный» кубит [3-5].
Рисунок 1. Схема реализации нелинейного элемента: (a) джозефсоновский осциллятор , шунтирующий конденсатор , а также элементов управления: связующего конденсатора и источник напряжения ; (b) – нелинейный элемент-джозефсоновский осциллятор, шунтированный последовательной цепочкой джозефсоновских элементов.
В случае схемы на Рис. 1(b) вместо конденсатора включается цепочка джозефсоновских переходов. Гамильтониан цепи определяется энергией, запасенной в цепи. Во-первых, это кинетическая энергия, полученная при зарядке конденсатора (заряд на конденсаторе). Во-вторых, потенциальная энергия, определяемая магнитной энергий в переходах (магнитный поток ). Наконец, добавок к энергии, который обусловлен внешним источником . Указанные вклады описываются выражением:
, |
(1) |
где мы перешли к квантовой теории, рассматривая заряд и поток как операторы , наложив на них коммутационные соотношения:, где -постоянная Планка. Итак, первое слагаемое - -кинетическая энергия, - эффективная емкость; -магнитная энергия, которая в частном случае Рис. 1 (a) определяется выражением, где . В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением динамики слабо нелинейного осциллятора, разложив функцию до четвертой степени по магнитному потоку
+. |
(2) |
Для описания динамики нелинейной системы выразим операторы и через операторы рождения и уничтожения соотношениями:
(3) |
где . Нетрудно проверить, что соотношения выполняются, если положить . Подставляя (2) и (3) в (1), получаем:
(4) |
- джозефсоновская (плазменная частота) осциллятора. Параметр нелинейности определяется и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В частности, для простого джозефсоновского перехода - параметр нелинейности, отрицателен. Функция управления описывает воздействие напряжения на джозефсоновский осциллятор:
(5) |
Заметим, что полученное выражение (4) обладает «отрицательной нелинейностью», поскольку нелинейное слагаемое входит в гамильтониан с отрицательным знаком, который возник при разложении функции в выражении (2). Понятно, что получить осциллятор с «положительной нелинейностью» можно только в результате усложнения схемы изображенной на Рис. 1 (b). Один из вариантов предложен в работах [6, 7]. Идея состоит в том, чтобы включить параллельно джозефсоновскому осциллятору дополнительную серию из последовательно переходов c джозефсоновской энергией . В этом случае получается эффективный гамильтониан типа (4), в котором константа имеет противоположный знак по отношению к выражению (4). Как мы увидим, условия захвата в резонанс будут зависеть от знака параметра нелинейности .
Последнее замечание данного раздела касаются выбора параметров схемы, изображенной на Рис. 1, а также выбора системы единиц при численных расчетах. Типичная частота используемых в ряде работ [3-8] джозефсоновских осцилляторов лежит в интервале ГГц, параметр может принимать значения около 200 МГц; типичные отношения параметров, входящих в (5) принимают значения , . Пусть , тогда единицу измерения напряжения можно определить из соотношения: .
Динамический трансмон. Бигармоническое возбуждение
Пусть на систему воздействуют две гармоники переменного потенциала с близкими частотами. Согласно (5), это переменное возмущение:
. |
(6) |
Будем называть центральной частотой, а отстройки представляют собой малые отклонения от центральной частоты. Пусть , , тогда можно выполнить усреднение по быстрым частотам (по и кратным ей).
Динамика квантовой системы, управляемой гамильтонианом (4), описывается нестационарным уравнением Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом:
(7) |
Выделим быстрое вращение вектора в (7), совершив унитарный поворот
(8) |
где , а - медленная функция. Отметим, что операторы рождения и уничтожений при данном унитарном повороте преобразуются следующим образом:
, . |
(9) |
Подставляя (8) в (7) , и учитывая (9), получим уравнение для функции :
(10) |
где
. |
(11) |
Из (11) видно, что частота изменения волновой функции в главном приближении определяется колебаниями на разносной частоте , поэтому можно усреднить (10) и (11) по быстрым движениям на частоте . Сказанное означает, что мы усредняем любую функцию временипо периоду согласно:
, |
(12) |
оставляя медленную зависимость от времени, возникающую при переходе от периода к периоду. Поскольку , то это означает, что множители при усреднении согласно (12) можно считать постоянными на периоде. Данное приближение называется приближением вращающейся волны (RWA) и широко используется в оптике [9].
В результате усреднения мы получаем:
(13) |
где - медленная функция времени, а эффективный гамильтониан медленного движения имеет вид:
, |
(14) |
где .
Из вида гамильтониана (14) следует, что в данном случае для медленной функции имеет место нестационарное уравнение Шредингера (13). Важно подчеркнуть, что имеется большой энергетический интервал и эквивалентные полосы , , получаемые сдвигом вдоль оси энергии, в которых расположены квазиэнергетичекие уровни.
Гамильтониан (14) будет использован для изучения динамических кубитов. Прежде всего, мы замечаем, что несмотря на несоизмеримость периодов (частот) функции : и , гамильтониан не меняется при преобразовании. Это связано с тем, что после усреднения эффективный гамильтониан меняется на масштабе . Отсюда следует, что можно будет ввести квазиэнергию, заданную на новом масштабе . Таким образом, полоса разбивается на промежутки шириной , в которых расположены квазиэнергетические уровни (14).
Действительно, решение (13) на большом периоде можно записать в виде:
(15) |
где -оператор хронологического упорядочения. Квазиэнергию можно определить как собственное значение оператора , определяемое соотношением:
. |
(16) |
Данное выражение будет использовано в следующих разделах для аналитических и численных расчетов.
Таким образом, если существует квазиэнергия, то это означает существование стабильных состояний нелинейных систем при, которые при фиксированной отстройке зависят от двух управляющих параметров: и .
3.Квазиэнергии динамического кубита. Численное моделирование
В данном разделе мы будем изучать динамику многоуровневых систем в поле бигармонического сигнала, описываемых гамильтонианом (14). Как видно из (14), невозмущенный гамильтониан
(17) |
можно диагонализовать в фоковском базие : . Спектр выражается соотношением: . Пусть система характеризуется положительным ангармонизмом . В этом случае при малой отстройке от резонанса с ростом расстояние между уровнями растет, поэтому при учете влияния возмущения в (14) можно ограничиться небольшим числом уровней.
Систему с двумя состояниями () будем называть динамическим кубитом. В подпространстве эффективный гамильтониан кубита имеет вид:
, |
(18) |
Объект с - естественно назвать динамическим кутритом, который описывается гамильтонианом:
, |
(19) |
При можно легко найти численно квазиэнергию [11-13] с использованием приближенных выражений (18) и (19) для гамильтониана. Ситуация несколько осложняется при отрицательной нелинейности, когда и . В этом случае из выражения следует, что с увеличением размера матрицы энергетические уровни могут сильно сближаться и даже могут пересекаться при изменении параметров и . Например, если , это будет означать, что при и при расчете квазиэнергии необходимо учитывать большое число уровней , такое, что . Этот случай требует особого подхода, однако оценки показывают, что указанные эффекты качественно не влияют на результаты, полученные ниже, при малом параметре нелинейности.
Кратко опишем метод численного решения уравнения (13) и расчета квазиэнергий (15), который разработан в данной работе. В выбранном базисе на периоде решалось уравнение (13), после чего был вычислен оператор Флоке (см. (15)). Далее, производилась диагонализация и согласно (16) находились квазиэнергии и собственные функции -функции Флоке.
На рисунку 2 (а) показана зависимость квазиэнергий двухуровневой системы (динамического кубита) как функция амплитуды развертки (измеряемой в единицах ). При этом амплитуда фиксирована и равна: при положительном параметре нелинейности (в единицах ). На Рис. 2(b) представлены аналогичные зависимости при отрицательном параметре нелинейности.
Рисунок 2. Квазиэнергии динамического кубита.
На рис. 2 (a) представлены зависимости квазиэнергии от безразмерного напряжения (измеряемой в единицах ) при (в единицах ) при положительном параметре нелинейности . На Рис. 2(b) показаны квазиэнергии при аналогичных параметрах и при .
Рисунок. 3 Квазиэнергии трехуровневой динамической системы (кутрита), полученные путем численного решения уравнения Шредингера как функции безразмерного напряжения при фиксированном значении и положительном параметре нелинейности . На Рис. 3(b) показаны квазиэнергии при аналогичных значенияхи при . Отстройка от резонанса: .
Таким образом, если существует квазиэнергия, то это означает существование стабильных состояний динамических кубитов, которые при фиксированной отстройке зависят от двух управляющих параметров: и .
Заключение
Таким образом, нелинейная многоуровневая система, управляемая бигармоническим сигналом, может захватываться во вторичные резонансы, а её состояния характеризуются сохраняющейся величиной – квазиэнергией. Дополнительные квазиэнергетические уровни расположены в полосах шириной . Как известно, квазиэнергетические состояния во многом аналогичны стационарным состояниям квантовых систем [11-13]. Если приготовить состояние системы с заданной квазиэнергией, то система в пренебрежением диссипацией будет находиться в этом состоянии достаточно долго. Аналогично, если приготовить суперпозицию состояние с заданной квазиэнергией, то такой волновой пакт будет долго находится в этой суперпозиции. Показано, что такие состояния могут быть реализованы на основе джозефсоновских переходов с положительной и отрицательной константой нелинейности. Как известно, время декогеренции современных джозефсоновских осцилляторов составляет доли миллисекунд [3,4], поэтому на первом этапе рассмотрения диссипация может не учитыватся.
Список литературы
- К.К. Лихарев. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985.
- М.Тинкхам. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980.
- P. Krantz, M.Kjaergaard, F. Yan, T. P. Orlando, S. Gustavsson, W.D. Oliver, Appl. Phys. Rev. 6, 021318 (2019); https://doi.org/10.1063/1.5089550
- В.А.Вожаков, М.В.Бастракова, Н.В. Кленов, И.И.Соловьев, В.В. Погосов, Д.В. Бабухин, А.А. Жуков, А.М.Сатанин// 2022, УФН, Т.192, стр. 457-476.
- A. Blais, A. L. Grimsmo, S. M. Girvin, and A. Wallraff, Rev. Mod.Phys. 93, 025005 (2021).
- V. E. Manucharyan, J.Koch, L.I. Glazman, M.H. Devoret, Fluxonium: Single cooper-pair circuit free of charge offsets. Science 326, 113–116 (2009DOI: 10.1126/science.1175552.
- E. Hyyppä, S. Kundu, C.F. Chan, et al. Unimon qubit. Nat Commun 13, 6895 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-34614-w.
- F.Bao, et al. Fluxonium: An alternative qubit platform for highfidelity operations. Phys. Rev. Lett. 129, 010502 (2022).
- М.О.Скалли, М.С. Зубайри, Квантовая оптика, Москва, ФИЗМАТЛИТ (2003).
- Blais A.,et al.Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computation // Phys. Rev. A. - 2004. - Vol. 69.- P. 062320-1-062320-14.
- J.H. Shirley, Solution of the Schrödinger Equation with a Hamiltonian Periodic in Time, Phys. Rev. 138, B979 (1965).
- Я. Б. Зельдович. ЖЭТФ, 51, 1492, 1966.
- В. И. Ритус. ЖЭТФ, 51, 1544, 1966.
1 Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант # 22-21-00586).