УДК 629.7.05

Краткий анализ алгоритма динамической системной модуляции для улучшения навигации беспилотных летательных аппаратов

Еремина Виктория Владимировна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Информационных и управляющих систем Амурского государственного университета.

Мокронос Кирилл Константинович – аспирант Амурского государственного университета.

Аннотация: В данной статье проводится анализ метода избегания преград через применение динамической системной модуляции. Эта часть исследования фокусируется на изучении эффективности и надежности использования этого метода для улучшения производительности и надежности исходного алгоритма 3DVFH+.

Ключевые слова: 3DVFH, избегание препятствий, динамическая система, модуляция, беспилотные летательные аппараты.

Введение

В первой части статьи были обсуждены широко используемые методы автоматического избегания преград [1], применяемые в программировании беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) и базирующиеся на алгоритме 3DVFH+ [2 – 4]. Этот алгоритм активно используется в навигации и управлении БПЛА благодаря его способности эффективно создавать безопасные маршруты вокруг препятствий. Однако все еще существуют трудности, связанные с избеганием препятствий в реальном времени, планированием маршрута и навигацией. Алгоритм динамической системной регулировки (DSM) представляет собой потенциальное решение этих проблем, предлагая более адаптивный и гибкий подход к автономному управлению БПЛА.

Алгоритм динамической системной модуляции

Алгоритм динамической системной модуляции [5], сочетает низкую вычислительную сложность алгоритма искусственного потенциального поля и решает проблему локального минимума. Скорость динамической системы модулируется матрицей модуляции, чтобы устранить проникающую составляющую скорости около поверхности препятствия. Алгоритм сохраняет сходимость системы и предотвращает столкновения. Существует алгоритм обхода препятствий на основе DSM, использующий относительное расстояние между роботом и препятствием [6], а векторное поле функции Ляпунова [7] модулируется для получения желаемого поля скорости слежения. Так же в систему управления DSM было добавлено управление с прогнозированием моделей для оптимизации траектории движения [8].

Рассмотрим переменную состояния , которая определяет состояние роботизированной системы. Его временная эволюция может регулироваться либо автономной динамической системой (1), неизменной во времени, либо неавтономной динамической системой (2), изменяющейся во времени:

; (1)

, (2)

где – непрерывная функция, – декартово произведение d копий множества вещественных чисел. Учитывая начальную точку , движение робота во времени можно вычислить путем рекурсивного интегрирования :

, (3)

где – шаг интегрирования по времени.

Далее можно вызвать модуляцию нашего общего движения из-за наличия препятствия. Рассмотрим d-мерный гиперсферический объект с центром в точке и радиусом . Объект создает модуляцию во всем пространстве состояний робота, которая передается через нелинейную функцию следующим образом:

. (4)

Чтобы определить, как модулирует скорость робота, вычисляется якобиан, который дает:

. (5)

Для упрощения обозначений выразим модуляцию в системе отсчета с центром в объекте и определим :

, (6)

где I – единичная матрица, – динамическая матрица модуляции.

Окончательную модель уклонения от сферических препятствий в реальном времени можно получить, применив матрицу динамической модуляции к исходной динамической системе, заданной уравнениями (1) и (2):

, (7)

где – коэффициент модуляции, который локально деформирует исходную динамику f таким образом, что робот не сталкивается с препятствием.

На рисунке 1 показано влияние модуляции, вызванной таким сферическим объектом, на двухмерные и трехмерные представления. Как видно, в обоих случаях траектория отклоняется правильно и проходит препятствие.

Рисунок 1. Эффект модуляции, вызванной сферическим препятствием: а) – двумерное представление; б) – трехмерное представление.

Теперь рассмотрим дугообразные препятствия. Предположим, что существует непрерывная функция , которая выполняет модуляцию системы на основе текущих состояний или параметров, проектирует в . Функция имеет непрерывные частные производные первого порядка и монотонно возрастает с . Кривые уровня типа окружают выпуклую область. По построению на поверхности препятствия выполняется соотношение:

. (8)

Например, соответствует d-мерному эллипсоиду с длинами осей . Можно разделить пространство, на три области , , , чтобы различать точки внутри препятствия, на его границе и вне препятствия соответственно:

; (9)

; (10)

. (11)

В каждой точке , на внешней поверхности препятствия возможно вычислить касательную гиперплоскость, определяемую равенством как его нормальный вектор :

. (12)

В более широком смысле можно вычислить гиперплоскость отклонения в каждой точке вне препятствия с нормалью:

. (13)

Рисунок 2. Тангенциальная гипперплоскость и гипперплоскость отклонения.

Каждая точка на гиперплоскости отклонения может быть выражена как линейная комбинация набора линейно независимых векторов. Эти векторы составляют основу гиперплоскости отклонения (рис. 2). Для упрощения отображения системы уравнений под набор векторов определим функцию выбора знака:

, (14)

где значения –1, 1 и 0 соответствуют условиям , и .

Тогда один конкретный набор таких векторов будет равен:

, (15)

где соответствует j-й компоненте i-го базисного вектора, при условии , .

Как и в случае сферического объекта, матрица модуляции, задается выражением:

. (16)

Матрица динамической модуляции распространяет влияние препятствия на траекторию движения. Форма уравнения (16) инвариантна к выбору базиса . Кроме того, матрица базисного вектора обратима в . В опорной точке препятствия гиперплоскость отклонения не определена, однако это не вызывает никаких проблем, так как – это точка внутри препятствия. Кроме того, поскольку монотонно возрастает с , матрица собственных значений и, как следствие, матрица динамической модуляции сходятся к единичной матрице по мере увеличения расстояния до препятствия. Следовательно, влияние матрицы динамической модуляции максимально на границах препятствия и исчезает в точках, удаленных от него.

Подобно уклонению от препятствий гиперсферы, заданному уравнением 7, можно применить модуляцию, заданную уравнением 16 на первоначальную траекторию движения f, которая дает:

. (17)

На рисунке 3 показано влияние модуляции на поле движения при наличии различных препятствий.

Рисунок 3. Изменение исходной траектории движения с помощью матрицы модуляции для: а) – двухмерного представления; б) – трехмерного представления; в) – думерного стабильного предельного цикла; г) – трехмерного не автономного представления.

Анализ дискретного движения робота

В предыдущем разделе было показано, как матрица динамической модуляции может использоваться для изменения движения робота таким образом, чтобы он не сталкивался с препятствием. Однако во многих экспериментах с роботами, он должен не только избежать всех препятствий, но и достичь цели, которая далее обозначается . Необходимо, чтобы измененное движение сохраняло свойство сходимости исходной динамики, но при этом гарантировало, что движение не проходит сквозь объект.

Предположим, что d-мерная глобально асимптотически устойчивая автономная или неавтономная ДС определяется уравнением 1 или уравнением 2. Глобальная устойчивость f требует, чтобы скорость обращалась в ноль только в целевой точке , т.е. для автономных ДС и для неавтономных ДС. Когда f модулируется динамической матрицей , остается точкой равновесия, поскольку скорость по-прежнему обращается в ноль в конце маршрута, т.е. для автономной динамической системы и для не автономных динамических систем.

Однако при наличии препятствия цель может оставаться не единственной точкой равновесия системы. Другие возможные точки равновесия могут быть созданы из-за члена модуляции . Эти точки можно вычислить, взглянув на нулевое пространство . Для всех , матрица имеет полный ранг и, следовательно, будет единственной точкой равновесия в . Только на границах препятствия, т.е. , теряет один ранг, что дает ряд ложных точек равновесия. На самом деле эти ложные точки равновесия генерируются, когда существует коллинеарность между скоростью и вектором нормали в граничных точках:

; (18)

, (19)

где – единичный вектор нормали гиперплоскости в точке .

В зависимости от функции f эти точки равновесия могут быть либо седловыми, либо локальными минимумами.

Вычисление этого набора точек равновесия не всегда возможно. Однако возможно упростить задачу, заметив, что, поскольку все точки равновесия появляются исключительно на границе препятствия, можно избежать столкновения, используя некоторые внешние механизмы. На рисунке 4 показаны два примера, где робот обнаружив, что движение остановилось на внешней поверхности (границе) препятствия (т.е. в точке равновесия), применяет малое возмущение по любому из базисных векторов . Все эти векторы определяют направления, обеспечивающие удаление направления движения робота от препятствия. Если точка равновесия является седловой, алгоритм завершается за одну итерацию.

Рисунок 4. Иллюстрация обхода возможных точек равновесия на границе препятствия: а) – при наличии седловой точки; б) – при наличии локального минимума.

Если же это локальный минимум, то препятствие очерчивается вдоль направления базисного вектора , тем самым предусмотривается некоторый запас безопасности вокруг препятствий, чтобы БПЛА оставался на безопасном расстоянии от объекта и с меньшей вероятностью могло произойти столкновение. Это происходит до тех пор, пока препятствие не покинет область притяжения локального минимума. Положительная скалярная величина управляет амплитудой движения вдоль базисного вектора .

Значение следует выбирать, находя компромисс между точностью, безопасностью и скоростью движения. При большом шаге интегрирования по времени следует использовать малое значение , чтобы уменьшить ошибку отклонения (из-за интегрирования) от желаемой траектории при оконтуривании препятствия. Кроме того, поскольку контурирование происходит на внешней поверхности препятствия, по соображениям безопасности обычно следует избегать выбора высокого значения для . Очень маленькое значение также не рекомендуется, так как оно значительно замедляет скорость контурной обработки.

Заключение

В ходе исследования алгоритма динамической системной модуляции (DSM) были выявлены значительные преимущества его применения в контексте навигации беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Основным достоинством DSM является его способность обеспечивать более гибкое и динамичное управление, что критически важно для эффективного избегания препятствий в сложных и меняющихся условиях.

Более того, этот алгоритм демонстрирует отличную совместимость с алгоритмом 3DVFH+, который уже широко используется для программирования БПЛА. Интеграция DSM с 3DVFH+ обещает значительное улучшение в производительности и надежности систем автоматического уклонения от препятствий.

В следующей статье будет представлен подробный анализ и результаты модификации, объединяющей эти два алгоритма.

Список литературы

Еремина В.В., Мокронос К.К. Модернизация типового алгоритма уклонения от препятствий. I // Информатика и системы управления. – 2022. – № 1(71). – С. 27-40.
Khansari-Zadeh S.M., Billard A. A dynamical system approach to realtime obstacle avoidance // Autonomous Robots. – 2012. – Vol. 32, № 4. – P. 433–454.
Saveriano M, Lee D. Distance based dynamical system modulation for reactive avoidance of moving obstacles. // IEEE international conference on robotics and automation (ICRA). – 2014. – P. 5618–5623.
Wang H., Lyu W., Yao P. Three-dimensional path planning for unmanned aerial vehicle based on interfered fluid dynamical system. // Chinese Journal of Aeronautics. – 2015. – Vol. 28, №1. – P. 229–239.
Yao P., Wang H., Su Z. UAV feasible path planning based on disturbed fluid and trajectory propagation // Chinese Journal of Aeronautics. – 2015. – Vol. 28, № 4. – P. 1163–1177.
Julier S.J., Uhlmann J.K. Unscented filtering and nonlinear estimation. // Proceedings of the IEEE. – 2004. – № 92(3). – P. 401–422.
Wang, N., Dai, F., Liu, F., Zhang, G. Dynamic Obstacle Avoidance Planning Algorithm for UAV Based on Dubins Path. // Algorithms and Architectures for Parallel Processing. ICA3PP 2018. Lecture Notes in Computer Scienceю – 2018 – Vol. 11335.
Xu Z., Zhan X., Chen B., Xiu Y., Yang C., Shimada K. A real-time dynamic obstacle tracking and mapping system for UAV navigation and collision avoidance with an RGB-D camera // IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA) – 2023 – P. 10645-10651.

Интересная статья? Поделись ей с другими: