УДК 62

Формализация модели расчета кожухотрубного теплообменного аппарата для экспериментальных установок

Дерновский Вячеслав Львович – кандидат технических наук, научный сотрудник Института Океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук

Самусенко Андрей Викторович – кандидат технических наук, доцент кафедры Радиофизики Санкт-Петербургского государственного университета

Аннотация: В целях подбора оборудования для экспериментальных установок и стендов решается задача составления системы уравнений, описывающей процессы теплообмена между жидкостями, протекающими по разным контурам кожухотрубного теплообменного аппарата (КТТА), и определения границ применимости полученных уравнений. В первом приближении разрабатывалась линейная система уравнений, изучались её границы применимости. Система уравнений получена и упрощена. По результатам изучения сформулированы рекомендации по дальнейшему уточнению модели.

Ключевые слова: кожухотрубный теплообменный аппарат, моделирование теплообмена, экспериментальный бассейн.

Актуальность

Теплообменное оборудование используется для обеспечения необходимых параметров жидкости в экспериментальных установках, бассейнах и стендах. В частности, параметры нагрева и охлаждения необходимо регулировать при создании стратифицированной среды. При решении задачи проектирования установки важно рассчитать серию вариантов возможных параметров теплообменного оборудования для выбора оптимального размещения на имеющихся площадях.

Теплообмен между жидкостями может быть реализован с помощью различных технических решений. Для авторов данной работы представляют интерес разработки, позволяющие решать эту задачу при высоких скоростях тока, с высоким КПД и минимальными габаритными размерами.

Основной задачей, поставленной перед авторами работы, является составление системы уравнений, описывающей процессы теплообмена между жидкостями, протекающими по разным контурам кожухотрубного теплообменного аппарата (КТТА), определение границ применимости полученных уравнений. Знание границ применимости позволит корректно решать задачи подбора оборудования.

Цели и задачи

Работа кожухотрубного теплообменного аппарата будет описываться уравнением, которое выражает связь потока тепла Q, которым обмениваются «горячая» и «холодная» жидкости через стенки трубок [1]. В правой части, по сути, будет «тепловое сопротивление», складывающееся из сопротивления «горячей» жидкости, сопротивления стенки и сопротивления «холодной» жидкости. При конструировании теплообменной аппаратуры в качестве технического задания известны целевые значения потока тепла Q, температурной разности ∆t, средних скоростей обеих жидкостей w_тр и w_кож (которые выражаются через целевой расход). Также известны свойства сред (плотности, теплопроводности, вязкости). Неизвестными параметрами являются параметры геометрии – диаметры, количество трубок, длина аппарата, диаметр аппарата. Уравнение одно, а неизвестных параметров несколько, поэтому уравнение дополняется некоторыми требованиями, которые отражают представление об оптимальной конфигурации конструкции, которое чаще всего заключается в минимизации геометрических параметров, и необходимостью попасть в область применимости уравнения. Данное требование заключается в том, что число Рейнольдса в трубке должно превышать 10000, но при этом скорость движения не должна превышать некоторого критического значения.

Можно утверждать, что есть две отдельных части модели:

Физическо-математическая модель – т.е. собственно уравнение, для которых обсуждается вопрос о границах применимости.
Алгоритм подбора параметров геометрии, т.е. решения задачи оптимизации в заданных рамках.

Основой для алгоритмов подбора теплообменного аппарата является физико-математическая модель. В ряде случаев существует необходимость быстрого перебора возможных параметров аппарата для оценки его применимости и экономической целесообразности. Во время решения подобной задачи применять численное моделирование для подбора вариантов не целесообразно, в том числе из-за длительности расчетов. Поэтому предлагается рассмотреть предложенные в литературе математические выражения, уточнить их и определить границы применимости. Использование точных выражений позволит, в частности, быстро решать задачу подбора геометрических параметров кожухотрубных теплообменных аппаратов.

Вторая часть модели и, соответственно, алгоритма решения задачи оптимизации в данной работе не рассматривается, а лишь даются рекомендации по её реализации.

Методология

Рассмотрим физическую сущность первой части модели. Есть параллельно направленные потоки жидкости – горячей и холодной. Они разделены стенкой, через которую могут обмениваться теплом, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема теплообмена между жидкостями через металлическую стенку.

Поток тепла q(x)∙dx через стенку на небольшом отрезке системы dx пропорционален разности температур жидкостей T₁-T₂. Тем, что температура распределена по сечению, т.е. по yz-плоскости, неравномерно можно пренебречь, если система достаточно длинная и поток в большей ее части можно считать установившимся. В этом случае под T₁(x) и T₂(x) просто понимаются средние по сечению температуры. Итак,

q(x)=A∙(T₁(x)-T₂(x)) . (1)

Коэффициент A определяется геометрическими параметрами сечения такими, как параметрами диаметром трубок, их толщиной, свойствами жидких сред и металлической стенки. Важным для дельнейшего обсуждения является вопрос, можно ли считать A независимым от x-координаты. A не зависит от x, если допустить, что плотность, теплопроводность и вязкость не зависят от координаты. Данная зависимость может появиться, поскольку эти свойства зависят от температуры, а жидкости по ходу обмена теплом изменяют температуру. Если зависимостью свойств от температуры можно пренебречь, то пара уравнений, описывающая распределение температур T₁(x) и T₂(x) – это пара уравнений с линейными коэффициентами:

(2)

В случае, когда теплоемкость c и коэффициент A не зависят от температуры, не будет зависимости и от координаты уравнения интегрируются. Если жидкости текут не в разные стороны, а в одну, принципиально ситуация не меняется, система уравнений будет похожей

Данные уравнения являются основой предлагаемой модели. Исходя из их логики, в дальнейшем, свойства среды фигурируют как константы, взятые при некоторой «эффективной» средней температуре. Однако если разница между температурой на входе и выходе хотя бы одной из жидкостей существенна, коэффициенты будут за счет свойств среды зависеть от температуры, система станет нелинейной, и проинтегрировать ее в формулах будет нельзя. В таком случае, останется лишь возможность численного интегрирования, по которому можно будет составить таблицы для каждой из интересующих пар жидкостей.

В случае разработки математической модели, не подразумевающей использования численных методов, появляется серия важных особенностей, которые необходимо учитывать.

Во-первых, есть существенное ограничение на модель в плане разницы температур жидкости на входе и выходе. В общем случае, разница температур между холодной и горячей жидкостей при этом может быть и очень большой.

Во-вторых. В модели игнорируется поток тепла, который идет по металлической стенке вдоль потока. Если стенка не слишком тонкая, это может, в принципе, исказить распределение температур. В перспективе, при дальнейших шагах уточнения модели, планируется провести оценку, может ли такой поток тепла внести существенную погрешность.

В-третьих – это вопрос о применимости конкретных формул, используемых в модели. Подобные формулы работают в некотором диапазоне параметров потока и геометрии.

По мнению авторов, проблема требования малости «продольного» изменения температур наиболее серьезна. Если этот подход применим, то вычисления выполняются по формулам в модели; если нет – то решение получается при помощи численных методов. При этом форму и идеологию алгоритма можно будет полностью сохранить.

Полученные результаты

Основным ограничением на применимость модели является использование среднего коэффициента теплоотдачи без учета изменения свойств среды в зависимости от температуры. Соответствующую погрешность можно оценить следующим образом. Наиболее существенно от температуры зависит вязкость. Определяющий параметр – число Нуссельта (оно пропорционально тепловому потоку) – зависит от вязкости следующим образом, без учета поправочных коэффициентов:

(10)

Есть ограничение снизу на массовый расход. Пусть минимальный возможный внутренний диаметр трубки dmin. Из условия Re>104 получаем условие на массовый расход: M>pi*104* *dmin, здесь M – массовый расход в кг/с, eta – динамическая вязкость. Аналогичная формула справедлива и для трубок, и для кожуха (в кожухе исходя из определения эффективного диаметра). Ограничение возникает исходя из того, что должна быть хотя бы одна трубка, а кожух должен быть хотя бы вдвое больше трубки. Ограничения сверху, по сути, нет, поскольку количество аппаратов неограниченно.

Есть ограничение, связанное с тем, что разность температур с одной и другой стороны аппарата определяется тепловым потоком Q и массовым расходом M:

(19)
(20)

Т.е. мы можем независимо задать тепловой поток, массовые расходы в кожухе и трубке, температуры в кожухе и трубке на входах. А температуры на выходе в трубках и кожухе определяются через эти параметры, их уже нельзя задать независимо.

В рамках данной модели возможно решить задачу определения потерь давления при фиксированных условиях. Здесь наиболее сложный момент – учет потерь на входах и выходах системы, где поток не является плоскосимметричным. Тут единственным надежным источником являются экспериментальные данные. Но каких-то принципиальных проблем с решением этой задачи авторы не предполагают.

(21)

Основное условие для применения вышеприведённой системы уравнений состоит в том, что разница температур должна позволять считать вязкость и теплоёмкость постоянными. Данный подход понижает точность и резко сужает спектр решаемых прикладных задач. Введём данную зависимость в модель.

Для получения решения более высокой точности решается система из двух обыкновенных дифференциальных уравнений (22) (обозначения в коэффициентах те же, что и выше, M_тр и M_кож – массовый расход жидкости в трубках и кожухе в кг/с).

(22)

Q	Полный поток тепла, Вт
d	Внутренний диаметр трубок, м
d_вн	Внешний диаметр трубок, м
l	Длина устройства, м
D	Внутренний диаметр корпуса, м
T_тр	Средняя температура в трубках, ⁰С
T_кож	Средняя температура в кожухе, ⁰С
λ_тр	Коэффициент теплопроводности в трубках, Вт/(м∙К)
λ_мат	Коэффициент теплопроводности стенки трубки, Вт/(м∙К)
λ_кож	Коэффициент теплопроводности в кожухе, Вт/(м∙К)
ε_ш	Поправочный коэффициент шероховатости внутренней поверхности трубок, безразмерный
ε_l	Поправочный коэффициент для кожуха, учитывающий длину аппарата, безразмерный
c_тр	Теплоемкость в трубках, Дж/(кг∙К)
c_кож	Теплоемкость в кожухе, Дж/(кг∙К)
η_тр	Динамическая вязкость в трубках, Па∙с
η_кож	Динамическая вязкость в кожухе, Па∙с
ρ_тр	Плотность в трубках, кг/м³
ρ_кож	Плотность в кожухе, кг/м³
s	Расстояние между неоднородностями на внутренней поверхности трубки, м
h	Высота неоднородностей на внутренней поверхности трубки, м
n	Число трубок

Заключение

В работе рассмотрена система уравнений, которая служит основой для расчета параметров кужухотрубного теплообменного аппарата. Проанализированы отдельные выражения и уточнены. Подробно рассмотрены границы применимости каждого уравнения и всей системы вцелом. В результате получена уточненная система уравнений, рассмотрена ее применимость, сформулированы ограничения на входные параметры. Дополнительно рассмотрен вариант учета зависимости параметров от продольного изменения температуры. Полученные результаты могут применяться для предварительного расчета параметров КТТА при проектировании экспериментальных установок и испытательных стендов.

В продолжение работы планируется решить систему уравнений, полученную в первом приближении численно. Применение численных методов позволит учитывать геометрические параметры прибора в зависимости от его параметров, которые являются входными данными задачи. Например, один из вариантов решающего алгоритма — это привести уравнение (1) к виду X = 0, а затем при помощи методов оптимизации (например, градиентный спуск) решить задачу поиска минимума abs(X). Разработать методы и алгоритмы вычисления геометрических параметров КТТА в случае учёта зависимости вязкости жидкости от температуры, а возможно и других параметров.

Список литературы

Аметистов Е. В., Григорьев В. А., Емцев Б. Т. и др. «Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник»: под общ. ред. В.А. Григорьева и В.М. Зорина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 512 с.
Кутателадзе С. С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 367 с.

Интересная статья? Поделись ей с другими: