УДК 378.016:51

Освоение понятийного математического аппарата слабоподготовленными студентами

Гниломедов Павел Иванович – кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины» Уральского государственного университета путей сообщения

Аннотация: В статье на основе анализа работ, описывающих состояние современного высшего математического образования, выделены проблемы, которые самым негативным образом влияют на качество освоения обучающимися математического аппарата. Прежде всего, это слабая математическая подготовка студентов и значительное ограничение учебными программами вузов времени аудиторной работы. В работе обоснована структурная модель введения новых математических понятий, методической основой которой является опора на имеющиеся математические знания обучающихся, их субъективный опыт, частные примеры и задачи. На одном из примеров посредством реализации предложенной модели показан способ обоснования существенного признака линии 2-го порядка. Автором сделан вывод о том, что реализация модели позволяет с приемлемой научной строгостью вводить математические понятия, обосновывать их существенные признаки, в ходе организации учебной работы студентов с недостаточным на данном этапе обучения уровнем математической подготовки, в условиях ограничения времени контактной работы.

Ключевые слова: преподавание высшей математики, математическое образование, техническое образование, учебная деятельность.

В настоящее время значительной учебной проблемой высшего технического образования является слабая математическая подготовка обучающихся в высших учебных заведениях студентов. На это обращает внимание большое число специалистов в области преподавания высшей математики [1-4]. Многие исследователи сходятся во мнении, что негативные тенденции усугубляются резким сокращением часов, отведенных для аудиторной работы (контактной работы преподавателя и студентов), при этом основная часть учебного времени современных образовательных программах технических вузов предполагает самостоятельную работу. Известный методист и автор учебной литературы по высшей математике Л.Н. Лунгу отмечает, что: «Уменьшение количества часов на математику очевидным образом усложняет проблему усвоения материала, поскольку ему уделяется меньше времени и внимания и никакая самостоятельная работа не может обеспечить необходимую глубину и полноту усвоения [1, с. 140]. В работе Н.А. Медведевой крайне отрицательно оценивается кратное уменьшение числа аудиторных часов по математике, а по сути, непосредственного взаимодействия с преподавателем и констатируется сходный вывод: «Никакие специальные курсы, никакие специальные дисциплины, не имея фундамента в виде достаточно полного традиционного курса высшей математики и физики, освоены быть не могут» [2, с. 44]. В.Ю. Тертычным-Даури  и соавторами, также указывается на то, что ряд основных проблем в обучении высшей математике вызваны такими явлениями как «…разрыв между уровнем знаний выпускников школ и требованиями вузов; уменьшение количества часов при переходе на новые образовательные стандарты …» [3, с. 145].

На наш взгляд, процесс освоения нового материала, в частности по высшей математике, можно охарактеризовать как учение хоть и вполне взрослого человека, но в своей зоне ближайшего развития, следовательно, можно с уверенностью сказать, что недостаточное время непосредственного взаимодействия с преподавателем, является фактором, замедляющим освоение нового материала. Как ранее было отмечено, слабая математическая подготовка усугубляет процесс освоения студентами изучаемого математического аппарата.

В связи с этим значительно усиливается роль методического сопровождения деятельности преподавателя. Различные аспекты работы (объектом рассмотрения) в данном направлении в рассматриваются в работах известных ученых-педагогов, авторов известных учебников по высшей математике. В частности крупный математик и педагог Л.Д. Кудрявцев, автор известного учебника по математическому анализу, обращал внимание на то, что в зависимости от направления обучения студентов зависят и методы профессиональной работы преподавателя: «… при обучении математике нематематиков следует выбирать лишь тот материал, который может быть ими усвоен, воспитать у них нужную им математическую культуру» [4, с. 125–126]. Сходные идеи высказаны в работе А.Д. Мышкиса, в которой обозначены основные направления работы преподавателя математики со студентами, обучающимся техническим специальностям. Особое внимание автором уделено особенностям введения математических понятий, а именно посредством рациональных рассуждений  [5, с. 42], что на наш взгляд, является весьма актуальным в свете обозначенной образовательных проблем. Отметим, что сходные положения были обозначены в наших ранее проведенных исследованиях, где отмечалось, что при необходимости «…для некоторых категорий обучаемых  учебный  процесс вместо строгих математических доказательств целесообразно сопровождать интуитивными представлениями смысловой интерпретацией и наглядными образами [6, c. 127].

Таким образом, обобщая основные выводные идеи, изложенные в работах по выделенным проблемам методики преподавания высшей математики, можно выделить простейшую структурную модель введения математического понятия или его существенных признаков (свойств математического объекта) на основе рациональных рассуждений. Методической основой такой модели является опора на имеющиеся математические знания обучающихся, их субъективный опыт, частные примеры и задачи (рисунок 1).

Рисунок 1. Структурная модель введения математического понятия на основе рациональных рассуждений.

 Практический опыт реализация модели, позволяет с приемлемой научной строгостью вводить математические понятия, обосновывать их существенные признаки в виде основных свойств, доказательств тех или иных положений, в ходе организации учебной работы студентов с недостаточным на данном этапе обучения уровнем математической подготовки. Такая модель, вполне естественно, определяет основные принципы работы, на которые приходится ориентироваться преподавателю:

• выявление уровня освоенности ранее изученного математического понятийного аппарата и практических умений и опора на имеющиеся у обучающихся знания и их актуализация;
• актуализация имеющегося практического опыта, не обязательно связанного с естественнонаучными понятиями.
• использование частных примеров и задач для достаточной обоснованности и непротиворечивости научным представлениям осваиваемых математических понятий.

Приведем поясняющий пример из практической работы реализации структурной модели возможного обоснования одного из свойств эллипса ‒ соотношения  b² = a² ‒ c² в условиях, как недостатка учебного аудиторного времени, так  и слабой математической подготовки обучающихся.

Известно, что в каноническом уравнении эллипса , параметры a и b ‒ это длины большой и малой полуосей, в случае расположения фокусов на горизонтальной координатной оси Ox. Какие затруднения может испытывать обучающийся. Во-первых, видно, что параметр c, представляющий собой фокусное расстояние, в данном уравнении вообще не содержится. При этом величина b в учебной литературе вводится формально ‒ при довольно громоздком выводе канонического уравнения, возникшее соотношение a² ‒ c² для упрощения записи просто обозначают как b² = a² ‒ c². [7, 8]. Лишь только после анализа полученного уравнения при построении линии эллипса равнения оказывается, что формально введенный параметр равен длине малой полуоси эллипса. Отметим, что алгебраические выкладки, довольно значительны по объему и весьма трудны для восприятия многим обучающимся. Во-вторых, данное соотношение имеет сходную форму записи с известным соотношением теоремы Пифагора c² = a² + b². В результате студенты не могут правильно запомнить данное соотношение, которое является абстрактно-логическим образом (математической формой записи) одного из существенных признаков эллипса. По этой причине при решении задач обучающиеся проявляют сомнения в правильности его использования. Поэтому важно показать, что данное выражение ‒ это следствие из правила построения линии.

Обозначим исходные моменты, которые в реальности могут сопровождать учебную работу в данном разделе аналитической геометрии:

1. Недостаток времени, обычно не позволяет делать подробные алгебраические выкладки из правила построения линии эллипса. В результате обучающиеся знакомятся с каноническим уравнением эллипса одновременно с чертежом, на котором показана сама линия эллипса, текущая точка М(х; у) и расстояния от нее до фокусов, а также основные параметры фигуры: большая и малая полуоси, фокусные расстояния (рисунок 2).

Рисунок 2. Основные параметры эллипса с центром в точке О (0; 0) и фокусами, расположенными на оси Ох.

2. Субъективный опыт позволяет представить обучающимся, как реализуется правило построения линии r₁+r₂ = 2a, определяющее положение текущей точки М (х; у), которая натягивает нить, с закрепленными в фокусах концами.
3. После определения эллипса и записи его канонического уравнения обычно записывается свойство линии в виде готового соотношения b²= a²‒ c².

Рассмотрим один из вариантов обоснования выражения b² = a² ‒ c² для эллипса с использованием стандартного рисунка.

Поскольку основное соотношение для построения эллипса ‒ сумма фокусных расстояний  r₁ + r₂ = 2a, где а ‒ длина большой полуоси эллипса, выполняется для любых точек линии, то можно взять частный случай для текущей точки М, расположенной на малой полуоси эллипса и имеющей координаты М (0; b) (рисунок 3).

Рисунок 3. Частный случай ‒ положение текущей точки на оси Оу. 

Очевидно, что оба расстояния от текущей точки до каждого из фокусов равны. Тогда для удобства обозначим r₁ = r₂ = r, следовательно, r₁ + r₂ = 2r = 2a, откуда следует, что r₁ = r₂ = r = a. Для одного из прямоугольных треугольников, например Δ F₂ОМ, выполняется условие теоремы Пифагора  r² = c² + b², где с ‒ фокусное расстояние, или a² = c² + b². Откуда следует интересующее нас соотношение b² = a² ‒ c². Таким образом, обучающиеся убеждаются в том, что формально введенный параметр  b  равен длине малой полуоси эллипса. При этом не приходится нарушать строгость алгебраических и геометрических закономерностей.

В заключение отметим, что использование таких приемов в настоящее время становится систематически необходимым и не должно носить эпизодический характер, это требует от преподавателя большого опыта, высокого уровня математической культуры, а также достаточно основательной подготовительной работы к лекционным и практическим занятиям. Несомненно, что у каждого из преподавателей найдутся в своем арсенале различные примеры и приемы, которые в случае их реализации по возможности нивелируют негативные моменты, отраженные в данном исследовании.

Выводы

Современное высшее математическое образование испытывает значительные проблемы, некоторые из них, а именно значительное сокращение контактной работы  студентов и преподавателя и слабая математическая подготовка, крайне негативным образом влияют на качество освоения математического аппарата, необходимого в будущей профессиональной деятельности.

Автором предложен подход в организации учебной работы студентов, имеющих слабую математическую подготовку в условиях значительного ограничения непосредственного взаимодействия с преподавателем на основе структурной модели введения новых математических понятий. Методической основой такой модели является опора на имеющиеся математические знания обучающихся, их субъективный опыт, частные примеры и задачи.

Реализация модели, позволяет с приемлемой научной строгостью вводить математические понятия, обосновывать их существенные признаки в виде основных свойств и их доказательств, в ходе организации учебной работы студентов с недостаточным на данном этапе обучения уровнем математической подготовки, в условиях ограничения времени контактной работы.

Настоящая работа может быть полезна не только преподавателям математики, но и преподавателям естественнонаучных дисциплин.

Список литературы

1. ЛунгуК.Н. Модернизация математического образования студентов технических вузов // Ярославский педагогический вестник. ‒ Т.II (Психолого-педагогические науки). ‒ № 3. ‒ 2012. ‒ С. 138-142.
2. Медведева Н.А. Реформы в высшем образовании ‒ кто ответит за последствия? // Математика в высшем образовании 2016. ‒ № 14 ‒ С.43-46.
3. Тертычный-Даури В.Ю., Камоцкий В.И., Максимова С.Н., Милованович Е.В., Танченко Ю.В. Проблемы преподавания математики в современном техническом вузе // Современное педагогическое образование. ‒ 2019. ‒ № 4. ‒ С.145-148.
4. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание / Л.Д. Кудрявцев: Учебное пособие для вузов. ‒ М.: Наука, ‒ 176 с.
5. Мышкис А.Д. О преподавании математики прикладникам. // Математика в высшем образовании. – 2003. ‒ № 1. – С.37-52.
6. БоярскийМ.Д., Гниломедов П.И. Роль дидактической культуры преподавателя в решении проблем современного математического образования // Педагогическое образование в России. – 2017. – № 12. – С.  122-129.
7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.
8. Шипачев В. С. Курс высшей математики: учебник. ‒ М.: ТК Велби; Проспект, 2004. – 600 с.