УДК 37.016:51

Пропедевтика формирования доказательных умений на уроках математики

Оболдина Татьяна Александровна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры физико-математического и информационно-технологического образования Шадринского государственного педагогического университета.

Аннотация: В статье рассматривается вопрос о необходимости пропедевтики формирования доказательных умений на уроках математики.

Цель исследования показать, что работа по пропедевтике формирования доказательных умений на уроках математики возможна и повышает качество усвоения доказательств в курсе школьной геометрии. В статье рассмотрена важность пропедевтики формирования доказательных умений на уроках математики, где уделено особое значение формированию умения учащихся подмечать закономерности на основе наблюдения, вычислений, преобразований и сопоставлений, а также использование контрпримеров.

Ключевые слова: пропедевтика, геометрия, доказательство, доказательные умения, контрпример, пропедевтика формирования доказательных умений на уроках математики.

За весь период школьного обучения учащиеся познают значительное количество геометрических понятий. Одни из них основные (первичные) - вводятся путем абстракции и в иных случаях косвенно определяются через аксиомы, другие – определяются на основе математического аппарата.

При изучении доказательств теорем и выводе правил учащимся приходится широко пользоваться умозаключениями, применять разнообразные методы доказательств, воспроизводить доказательства, прослушанные на уроке или изученные самостоятельно по учебнику, находить новые доказательства. При решении задач учащемуся необходимо найти план решения, затем реализовать его, а это требует четких рассуждений, логических обоснований [1]. 

Реализация выше перечисленного требует целенаправленной и систематической пропедевтической работы учителя, которую необходимо начинать заблаговременно. Поскольку в основе доказательства теорем лежат такие геометрические умения, как оперирование понятиями, работа с текстом теоремы, работа с чертежом, выбор необходимых знаний, то пропедевтика обучения доказательству должна строиться вокруг перечисленных умений.

Перечислим некоторые пропедевтические действия учителя, способствующие в последствие эффективному формированию доказательных умений.

При обучении математике учителю необходимо особое внимание уделить формированию умения учащихся подмечать закономерности на основе наблюдения, вычислений, преобразований и сопоставлений [1].

Для этого существенное значение имеет ознакомление учащихся с методами сравнения, аналогии, обобщения и абстрагирования.

В связи с возрастными особенностями учащихся учителю следует иметь в виду, что при организации сравнения каких-либо объектов, целесообразно сначала выяснить их различие, а затем уже сходство. Особое внимание необходимо обратить на выбор основания для сравнения и демонстрировать это на различных примерах.

При сравнении важно учащихся научить выполнять следующие действия: выделять признаки у объектов; устанавливать общие и существенные признаки; выделять основания для сравнения (один из существенных признаков); сопоставлять объекты по данному основанию.

Важную роль при формировании умения учащихся подмечать закономерности играет аналогия - сходство нетождественных объектов в некоторых сторонах, качествах, отношениях. При любой возможности необходимо демонстрировать метод аналогии на разнообразном математическом материале.

Остановимся более подробно на обобщении. Обобщение - это мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств изучаемых объектов и явлений. В психолого-педагогических источниках установлено пять уровней его развития:

• невозможность самостоятельно обобщать простые математические процессы;
• обобщение проводится с помощью учителя на основе
   эмпирического сравнения объектов, где определяются наглядно-
   воспринимаемые признаки;
• обобщение осуществляется путем сравнения в сочетании с
   анализом признаков, установлением их иерархий;
•  обобщение проводится на основе глубокого анализа объектов узкой базы(2-3объекта) и контролируется сравнением;
• обобщение проводится учащимися самостоятельно на основе
   глубокого анализа существенных свойств и отношений без сравнения объектов.

Наиболее сложным при формировании умения учащихся подмечать закономерности на основе наблюдения, вычислений, преобразований и сопоставлений являетсяабстрагирование.

Абстрагирование — это мысленное вычленение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, и превращение их в самостоятельный объект рассмотрения. Абстрагирование является заключительным этапом формирования умения учащихся подмечать закономерности на основе наблюдения, вычислений, преобразований и сопоставлений. В результате целенаправленной и систематизированной работы по формированию выше рассмотренного умения учащиеся будут более качественно готовы к работе по доказательству математических предложений.

Рассмотрим ещё один момент пропедевтики обучения доказательству – это использование контрпримеров. Контрпримеры чаще всего применяются для убеждения в ошибочных выводах. Для убеждения в ложности некоторого вывода достаточно привести один контрпример. Например, учащимся 5-6 классов может быть предложено задание.

Приведите контрпример, доказывающий ложность следующих утверждений:

• сторонами треугольника могут быть любые три отрезка;
• простое число является суммой любого четного и любого нечетного числа;
• в любом прямоугольнике две смежные стороны не равны
   между собой;
• чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были противоположными лучами.

Подобную работу следует проводить не только в 5-6 классах, но и продолжать на всем протяжении школьного обучения. Учащимся можно предложить задание на доказательство ошибочности определений посредством контрпримеров. В качестве примера остановимся на теме "Четырехугольники" курса геометрии 8 класса.

Например, докажите ошибочность предложений:

• прямоугольник это четырехугольник, у которого диагонали равны;
• параллелограмм это четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны;
• квадрат это многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой;
• квадрат это многоугольник, у которого четыре стороны и четыре угла равны между собой.

Таким образом, контрпримеры это один из существенных инструментов в математике по пропедевтике формирования доказательных умений, который помогает уточнять и углублять знания о математических объектах и их свойствах, усиливая при этом качество и надежность математических утверждений и выводов.

Ещё один немаловажный момент пропедевтики это важность четкого понимания учащимися необходимости доказательства и потребности в логических обоснованиях. В этой связи необходимы упражнения, где учащиеся убеждались бы в справедливости утверждения общим рассуждением. Целью решения таких упражнений является осознание, уточнение, конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Подобные упражнения также целесообразны для усвоения учащимися вводимой символики и используемого математического языка. Например:

• Известно, что х > y. Обязательно ли х2 > y2?
• Могут ли в треугольнике две высоты быть перпендикулярными? А две биссектрисы?

Процесс доказательства – сложный процесс мышления, и он формируется постепенно и поэтапно, от простых структур к более сложным.

Обучение доказательству – педагогическая проблема. Это, прежде всего, проблема обучения поиску доказательства и корректному его изложению. На сегодняшний момент задача учителя состоит не в том, чтобы учащиеся заучили отдельные готовые доказательства (изложенные в учебнике и объясненные учителем на уроке), а в том, чтобы научить учащихся доказывать.

Список литературы

1. Оболдина, Т.А. К вопросу о пропедевтике обучения доказательствам. / Т.А. Оболдина // Перспективы науки. – 2022. - № 12(159). С.309-311. Текст : непосредственный.