УДК 74.262.21

Методические особенности введения иррациональных чисел в школьном курсе

Малиновская Наталья Алексеевна – студентка Ставропольского государственного педагогического института.

Мельникова Надежда Романовна – студентка Ставропольского государственного педагогического института.

Научный руководитель Халатян Кристина Арсеновна – доцент кафедры Математики, информатики и цифровых образовательных технологий Ставропольского государственного педагогического института.

Аннотация: в процессе обучения математике, введение в школьный курс иррациональных чисел открывает новые математические горизонты и перспективы. Этот курс позволит не только расширить представления обучающегося о числе, но и развить его аналитическое мышление и математические способности. В данной статье рассматриваются методические особенности введения иррациональных чисел в школьный курс.

Ключевые слова: иррациональные числа, число, математика, школа, физика.

В настоящее время отчетливо наблюдается проблема слабой математической подготовки абитуриентов. Преподаватели математических дисциплин отмечают отсутствие у выпускников школ элементарных математических знаний, в том числе и о числах. У современной молодежи, при поступлении в вузы и ссузы, слабо развито понимание и представления о том, как появились числа, по какому принципу образуются числовые множества, что такое действительные, рациональные и иррациональные числа. Понимание числа, его свойств является базовыми и фундаментальным пониманием всех математических дисциплин. Основная проблема заключается в том, что те знания, который выпускник получил в процессе обучения в школе, представляют собой набор поверхностных сведений, а весь материал школьной программы не складывается в систему знаний и не имеет четкой направленности [1, 5].

Особую сложность при формировании общего понимания о числе и числовых множествах вызывает изучение иррациональных чисел. Одной из основных трудностей, с которой сталкиваются обучающиеся школы, является необычная структура иррациональных числе. Если рациональные числа представлены в виде обыкновенных и десятичных дробей с некоторыми периодическими закономерностями, то иррациональные числа лишены этой периодичности, что создает некоторые сложности в их визуализации и понимании. Еще одной проблемой может быть сложная символика, которая является абстрактной и труднопонимаемой для обучающихся, представление о числах, у которых часто связаны с более простыми обозначениями.

Иррациональные числа играют важную роль в формировании мировоззрения ученика, воздействуя на его математическое понимание и общую культуру. Вот несколько аспектов, которые можно выделить.

• Иррациональные числа, такие как корень из двух или число «пи» (π), не могут быть выражены конечной десятичной дробью. Это подчеркивает несовершенство и нерегулярность в математике. Ученик, сталкиваясь с такими числами, может осознать, что не всё вокруг него поддается точным и простым описаниям.
• Иррациональные числа встречаются в геометрии, например, в длинах диагоналей квадратов с единичной стороной. Это связано с красотой и симметрией геометрических форм. Ученик, изучая геометрию, может почувствовать гармонию взаимосвязи между числами и формами.
• Понимание иррациональных чисел может вдохновить ученика на более глубокое исследование математики. Они предоставляют прекрасные задачи для решения и стимулируют аналитическое мышление.
• Иррациональные числа могут послужить отправной точкой для философских размышлений о природе математики и её отношении к реальному миру. Они подчеркивают, что даже в математике существует нечто непостижимое и таинственное.
• Работа с иррациональными числами требует от ученика абстрактного мышления. Это развивает его способность рассматривать абстрактные концепции и применять их к реальным ситуациям.

В целом, иррациональные числа играют ключевую роль в формировании математического мышления и способствуют развитию философского взгляда на природу знаний.

Иррациональные числа играют ключевую роль в расширении числового поля, позволяя решать более сложные математические задачи и применять полученные знания в различных областях. Они являются фундаментальной частью теории чисел и имеют применения в геометрии, физике, информатике и многих других научных дисциплинах [2,3].

Введение иррациональных чисел в школьный курс математики требует особого подхода, чтобы ученики могли полноценно усвоить и понять этот материал. Вот несколько методических особенностей:

• Иррациональные числа можно ввести через контексты из реальной жизни или истории математики. Например, иррациональные числа могут быть связаны с измерением длины диагонали квадрата или с появлением «пи» (π) в геометрии в задачах по нахождению длины окружности.
• Использование визуализаций, демонстраций на доске, интерактивных приложений помогает ученикам лучше понять и запомнить концепции иррациональных чисел. Например, можно показать графическое представление корня из числа на координатной плоскости.
• Связывание новых знаний об иррациональных числах с тем, что ученики уже изучили, таким как дроби, десятичные дроби, квадратные корни из целых чисел и т.д., поможет создать понятные связи у обучающихся.
• Предоставление примеров из реальной жизни или учебных ситуаций, включая задачи, поможет ученикам увидеть применение иррациональных чисел в практических контекстах.
• Использование компьютерных программ, математических приложений или онлайн-ресурсов может помочь в визуализации иррациональных чисел и их свойств, что облегчит процесс понимания.

Данные методические особенности позволят более доступно раскрыть понимание иррациональных чисел. Например, использование различных графиков, моделей, интерактивны приложений позволит раскрыть потенциал и понять абстрактность иррациональных чисел. Так, иллюстрация корня на числовой оси, либо визуализация круга для изучения числа , в некоторой степени позволит улучшить понимание данного числового множества [6].

Также не менее важным аспектом является демонстрация практической направленности, а именно применимости иррациональных чисел в реальной жизни. Например, наглядная демонстрация использования иррациональных чисел при расчете длины диагонали некоторых фигур; в теории относительности Эйнштейна, при изучении пространства и времени; в компьютерных алгоритмах при работе с графикой: расчет координат точек и цветов; криптографической защите: иррациональные числа могут применять для обеспечения безопасности данных [4].

Обращаясь к методическим особенностям введения иррациональных числе в школьный курс математики рассмотрим пример решения элементарного уравнения.

Пример 1.

Необходимо решить уравнение

Решение.

Данное уравнение можно решить методом факторизации или благодаря использованию формулы квадратного уравнения.

Факторизуем данное уравнение и получаем:

Отсюда получаем два корня нашего уравнения:

Обращаем внимание, что корнями данного уравнения являются иррациональные числа. Так, как не может быть представлено в виде обыкновенной десятичной дроби.

Необходима интерпретация результатов, то есть при объяснении данного уравнения для наглядности можно провести графическую интерпретацию на числовой оси.

Для более понятного объяснения использования иррациональных чисел, рассмотрим реальную задачу из раздела физики, решение которой является полезным в повседневной жизни.

Пример 2.

Рассмотрим струну длинной , натянутую с постоянной сила натяжения . Нам необходимо определить частоту основного тона струны.

Решение.

Для нахождения решения данной задачи, где струна натянута с постоянной силой натяжения, частота определяется уравнением колебаний:

где f – частота, L – длина струны, T – сила натяжения, – массовая плотность струны.

Если предположить, что массовая плотность струны равна ее массе, деленной на ее длину, то уравнение можно представить следующим образом:

В данном случае, частота зависит от квадратного корня отношения к массе струны . В данном контексте у нас представлено иррациональное число, так как массу струны m нельзя в общем виде представить в виде конечной десятичной дроби. Это позволяет физикам и инженерам более точно моделировать и предсказывать поведение струн и других колебательных систем.

Таким образом, введение иррациональных чисел в школьный курс является важным этапом становления математического знания и мышления обучающихся. Данные знания расширяют представления о мире чисел, развивают абстрактное мышление и являются основной для углубленного изучения математических дисциплин.

Список литературы

1. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике. // Математика в школе. - №6 -2008. с. 20-30.
2. Дроботов А.М., Халатян К.А. Проблемы интеграции в обучении математике // Актуальные проблемы гуманитарных и общественных наук: сборник статей V Всероссийской научно-практической конференции (Пенза, 25–26 сентября 2019 г.). МНИЦ ПГАУ. Пенза: РИО ПГАУ, 2019. С. 24-27.
3. Марасанов А.Н. О методике обучения школьников решению иррациональных уравнений // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. – 2010. – №3-2. – С. 127-134
4. Нараленкова И.И. Природа чисел на уроках геометрии [Текст] / И.И. Нараленкова, Е.В. Шивринская  // Наука и современность. — 2014. — № 29.
5. Халатян К.А., Исакина А.Р. Возможности применение математического пакета MAPLE в преподавании математических дисциплин // Устойчивое развитие производственных и информационных систем в условиях формирования цифрового общества. Сборник материалов Международной научно-практической конференции. Ставрополь, 2023. С. 499-503.
6. Численные методы В EXCEL (теория погрешностей, решение систем линейных уравнений, решение нелинейных уравнений и приближение функций): учебно-методическое пособие / Халатян К.А., Григорян Л.А. – Ставрополь: АГРУС Ставропольского гос. аграрного ун-та, 2020. – 64 с.